資料和**出處
資料2資料3
打死我也不承認參考了yyb的
\(min\_25\)篩可以幹嘛？下文中未特殊說明\(p\)均指質數集合,\(p_i\)或\(p\)指某個具體質數。
求一類積性函式\(f(x)\)的字首和，需要滿足\(f(p)\)可以寫成多項式的形式，或者操作一下可以寫成多項式（如例題），且\(f(p^k)\)能快速求出。
講真學這個東西比我什麼都不會的時候學\(fft\)都累。
先求質數的貢獻。我們要求
\[\sum_^x[i是質數]f(i)$$。
我們可以設
$$g(n,j)=\sum_^[i \in p \ or\ \min(p)>p_j]f(i)\]
注意到當\(p_j^2>x\)時，\(g(n,j)=g(n,j-1)\)因為沒有新的貢獻了，所以我們只要篩到\(\sqrt n\)的質數就可以了，這也是降低複雜度的關鍵。
我們還注意到\(g(n,|p|)=\sum_^x[i是質數]f(i)\)，\(|p|\)是\(\sqrt n\)內的質數集合大小。
關於\(g(n,j)\)的轉移，我們有：
\[g(n,j)=g(n,j-1)-f(p_j)[g(\frac,j-1)-\sum_^f(p_i)],p_j^2\le n
\]意思大概就是減掉所有最小質因子為\(p_j\)的貢獻，但由於\(g(\frac n,j-1)\)裡包含了質數，而\(的質數是不能算的，所以要減掉。
由於我們只需要\(g(n,|p|)\)，所以下面的**是一維的，用遞推實現。注意到過程中我們只需要\(g(\lfloor\frac ni\rfloor,|p|)\)，所以最多只有\(2\sqrt n\)種取值
至於實現，由於我參考了\(gsy\)的實現，痛不欲生，於是決定把他的**蒯走。這份**是篩\(f(p)=1\)的。
//這兩個鬼id就是你在杜教篩中碰到的卡常卡空間技巧，這份**你理解了這個就能看懂
//至於yl，是機房眾人mo的巨佬，所以是模數
//sq是根號n
for (int i=1,j;i<=n;i=j+1)
for (int j=1;j<=tot;++j)
for (int i=1;i<=m&&pri[j]*pri[j]<=w[i];++i)//i再往上就是所有的質數，會被後面抵消
\[s(n,j)=\sum_^n[\min(p)\ge p_j]f(i)
\]注意\(s(n,1)\)沒算到\(f(1)\)。答案就是\(s(n,1)+f(1)\)。
遞推式來了
\[s(n,j)=(質數的貢獻)+(合數的貢獻)
\]有沒有感覺被騙了\(qwq\)，我們繼續
\[(質數的貢獻)=g(n,|p|)-\sum_^f(p_i)
\]\[(合數的貢獻)=\sum_^\sum_^\le n}s(\frac,k+1)\times f(p_k^e)+f(p_k^)
\]經過\(yl\)的指點，我可以口胡一下了，每個合數要在最小質因子處被篩到。當\(\frac n時，肯定是\(0\)就沒必要繼續了。
舉個栗子，形如\(t*p_k^3\)（其中\(t\)的最小質因子大於\(p_k\)）的數會被\(s(\frac n,4)\)包含。
由於\(s\)這個函式在任何時候都不包含\(f(1)\)所以我們要手動加上\(f(p_k^2),f(p_k^3),...,f(p_k^)\)其中\(p_k^>n\)。什麼，你問我\(f(p_k)\)去哪了，這不是個質數麼。
放上loj6053簡單的函式作為例題，這裡面的\(p\)^\(c\)對於質數來說除了\(2\)以外都是\(p-1\)，像個多項式。
**中\(g(x,|p|)=\sum_^x[i是質數]i\)，\(h(x,|p|)=\sum_^x[i是質數]1\)
#include#include#include#include#define gt getchar()
#define ll long long
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline ll in()
const int n=1e6+5,yl=1e9+7,mod=yl;
inline int mo(const int &x)
ll n,w[n];
int np[n],pr[n],tot,h[n],g[n],sp[n],id1[n],id2[n],m,sq;
void seive(int n) }}
int s(ll x,int y)
return res;
}int main()
for(int j=1;j<=tot;++j)
for(int i=1;i<=m&&1ll*pr[j]*pr[j]<=w[i];++i)
printf("%d\n",s(n,1)+1);
return 0;
}
篩最大次大質因子有關，考慮後面的篩，其中在亂搞一下就行了。
主要要深刻的理解min_25篩的過程，本質上是容斥？（我口胡的
多做題就明白了。
我偷偷的把ycb的題單蒯過來。
泥萌看著辦吧。
Min 25 篩 學習筆記
埃氏篩法 整除分塊 這裡有提到 1.問題模型 2.min 25 篩 3.模板題以及模板 有乙個積性函式 f 對於所有質數 p f p 是關於 p 的多項式，f p k 非常容易計算 不一定是關於 p 的多項式 求 sum f i n leq 10 1s 設集合 p 表示素數集合。設 g sum f ...
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這兒只是乙個簡單說明 概括 總結。原理見這 min 25篩用來求積性函式字首和。範圍一般是 10 要求所求積性函式在 f i 已知時，f p times i p in primes,i times p in 1,n 能快速計算。首先計算 g n,j sum if i quad i是質數 或 i的最小...
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模板 在本文中用 p 表示質數，p i 表示第 i 個質數。題目要我們求的是乙個積性函式的字首和。我們可以對於 n 內的每乙個質因子進行單獨考慮。但是這樣子的複雜度顯然過大，而這很大一部分原因是因為 n 以內的質數。因此如果我們把所有數分成質數和合數考慮，那麼在合數中的不同最小質因子個數就是 fra...