回文自動機（PAM）學習筆記

無。（強行說和kmp有關也是可以的……）

1. 乙個長度為 n 的字串最多有 n 個本質不同的回文子串。

2. 對於乙個字串 s，如果在其之後新插入乙個字元，那麼最多產生一種新的回文子串。

證明：假設加入這個字元之後得到的最長回文字尾為 t，那麼對於長度小於 t 的任何回文字尾，它們必然在更前面的位置出現過。如圖所示：

所以只有 t 可能是新的回文子串。

記 len[x] 表示節點 x 代表的回文串長度，設 fail[x] 表示「代表節點 x 所代表的回文串的最長回文字尾的節點」。（注意這裡的最長回文字尾是指長度小於原串的最長回文字尾，和後面提到的意義有差別）

設 next[x][c] 表示節點 x 所代表的字串在前後都加上乙個字元 c 之後所到達的狀態。則必然有 len[x] + 2 = len[next[x][c]] 。

首先，我們建兩個節點 a 和 b 。設 len[a] = -1, len[b] = 0 。

於是長度為 1 的回文串就可以有 a 走轉移邊到達。

接下來考慮如何構建 pam 。

考慮增量法，在串 s 後面加入乙個字元 c 後， pam 變成了怎樣？

假設當前插入的字元是 s[i]，字串 s 的第 k 個字元為 s[k] 。

設 x 表示 s 的最長回文字尾，那麼如果 s[i - len[x] - 1] = s[i] ，那麼最長回文字尾就是 next[x][s[i]]；否則不斷使 x = fail[x] ，直到滿足條件就找到了 s 的最長回文字尾。

找到之後，如果 next[x][s[i]] 這個節點已經存在，那麼什麼也不用幹；否則，我們新建乙個節點代表 next[x][s[i]] ， len[next[x][s[i]]] = len[x] + 2 ，那麼如何求 fail[next[x][s[i]]] ？

考慮找到使 x = fail[x] ，末尾加入字元 s[i] 之後，再找一次最長回文字尾即可。

namespace pam
void build(char *s,int n)
x=y;}}
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