並查集（disjoint sets），直譯即不相交集。
離散數學中對等價關係的定義：滿足自反性、對稱性和傳遞性的關係。
集合a，∀(a,b)，a,b∈a，滿足arb，則稱r為a上的關係，若r滿足以上三種性質，則為等價關係。
數學上的定義不必過多解釋，只需知道，等價關係是用來對集合中的元素分類，以達到簡化問題的目的的。
舉個例子，a,b,c,d,e,f,g∈a，若對於a上的等價關係r，有arb，arc，ard，erf，frg，則集合a被劃分為兩個等價類，即,}。
套用到實際應用中，a，b，c，d具有等價關係，則a，b，c，d可以被認為是同類事物，同理，e，f，g可以被認為是另一類事物。
並查集主要實現兩個功能：並（union）和查（find）
等價關係一旦確立往往不會改變，但據此劃分的等價類並不總是一成不變。
例如，朋友圈這種關係是長久存在的，a和b是朋友，c和d是朋友，於是形成了兩個不同的圈子，即a和b，c和d分別同在乙個等價類中。
某一天，a和c相遇了，他們覺得在一起ac很好玩（霧），於是進入了彼此的朋友圈，根據等價關係的傳遞性（朋友的朋友是朋友），b -a - c- d，這兩個圈子有了交集，a，b，c，d形成了乙個圈子，這就發生了等價類的合併（union）。
儘管從朋友圈的定義來講，b和d因為a和c的關係已經進入了同乙個朋友圈，但是他們兩個實際上還並未互相認識。
某一天，b和d也偶遇了，他們覺得bd是絕配（大霧），也想進入彼此的朋友圈，但是他們一看朋友圈（find），發現原來他們已經是同乙個圈子裡的人了，兩人相視一笑。
對於find操作，最快的無疑是雜湊（用陣列儲存等價類的名字），可以達到o(1)。
但是，如果採用這種資料結構，當執行union時，將不得不掃瞄一遍陣列，此時複雜度達到了o(n)。看上去還不錯？然而實際應用中，union往往是頻繁的，當它的優勢：find的次數不夠多時，o(n)的複雜度是無法被接受的。
對於find操作，並不要求其返回特定的名字，而只要求當且僅當兩個元素屬於同乙個集合時，他們能夠返回同樣的名字。
以朋友圈為例，沒有人（大概）會在事先為自己所在的朋友圈專門命名，b和d要確認他們是否已經在同乙個朋友圈，只需要說出他們朋友圈裡乙個共同的朋友（返回相同的名字）就可以了，至於這個共同的朋友是a還是c並不重要。
於是使用樹來表示集合，樹上的每乙個元素都有相同的根，用根來命名所在的集合，這些樹組成森林，即不相交集合森林。
這些樹不一定必須是二叉樹，其節點中唯一需要儲存的資訊是其父指標（秩充當了元素的名字）。
不相交集合森林儲存在陣列p中，p[i]的值表示i的父親，若i為根，則p[i] = 0，所以，陣列的所有的值被初始化為0。
union：為使兩個集合（設為集合i和集合j）合併，只需將其中乙個節點中儲存的父指標指向另外乙個節點。由誰指向誰有多種策略，但毫無疑問，此時union僅需花費常數時間o(1)。
套用到朋友圈的例子中就是，兩個人為了確認是否已經在同乙個朋友圈，通過朋友圈的傳遞性，在整個朋友圈繞了一大圈才發現彼此是朋友。
如上圖，從4，9出發，不得不一直向上，直到找到1為止。
要避免最壞的情況出現，一則需要在union時選取合適的策略，二則需要這棵樹能做自優化，自動減小深度，即路徑壓縮演算法。
const樹越深，則並查集的效率越差。int maxn = 1000
;int
pre[maxn];
void init(int
n)int find(int
x)//
y->x，並非最優
void setunion(int x, int
y)
直接求並往往會導致樹越來越深，類似二叉搜尋樹的不平衡。
有兩種求並方法可以避免
1.按大小求並：用乙個陣列記錄樹的大小，合併時，總是讓小的樹並到大的樹上。
2.按高度求並（按秩求並）：記錄樹的高度，合併時，總是讓矮的樹並到高的樹上。
記錄高度是很麻煩的，所以只記錄高度的估計，即用秩代替。按高度求並是事實上的按秩求並。
下圖可以直觀地感受到
直接求並和按大小求並的區別
按大小求並比直接求並少了一層。
記錄樹的大小並不難，似乎新開闢乙個陣列就可以辦到。而事實上，甚至不需要額外的空間，基於儲存樹的陣列就可以直接做到。
上面初步實現的並查集中，把所有陣列元素初始化為0，代表i是根，除此之外0似乎沒有什麼意義。
事實上，在有的實現版本中，初始化時將它們初始化為對應的秩，即p[i] = i，以此代表i是根。
在經歷合併之後，那些非根的陣列元素變成父指標，但根對應的陣列的值始終沒有變化（總是為0）。
不妨讓這部分值承擔更多的責任，記錄樹的大小。
問題在於，記錄樹的大小會導致無法識別出根（該怎樣區分陣列中記錄的是父指標還是樹的大小呢？）。
不難發現，非根的結點對應陣列的值，即父指標，所指向的是陣列的秩，而秩總是非負的。所以，大可直接在根的陣列元素中儲存樹的大小的負值，這需要在初始化時將所有陣列元素設定為-1。
按大小union實現如下
void init(int按大小求並的平均效率可達到o(1)，因為執行過程中大部分合併都是很小的集合合併到大集合中。n)void setunion(int x, int
y)
else
}
在根陣列元素中記錄深度的負值，只需在按大小求並的基礎上稍作修改即可。
void init(int在按高度求並演算法中，只有當兩棵樹的高度相同時，樹的高度才會增加1。n)void setunion(int x, int
y)}
大多數情況下，上面實現的並查集完全可以被接受。但最壞情況仍然很容易發生。
《資料結構與演算法分析——c語言描述》中舉了這樣乙個例子
把所有的集合放到乙個佇列中，並重複地讓前兩個集合出隊，同時讓它們的併入隊，最壞的情況就會發生。
如下圖
此時無論選取哪種union策略都是無法避免的，這就需要路徑壓縮。
路徑壓縮的思路非常簡單，在進行一次find(x)後，可以確定，x屬於某個集合，與其下次find時再次歷盡千辛萬苦從x找根，不如直接將x設定為根的子節點。其實現也很簡單，只需在原有的基礎上做一點微小的改動。
int find(int這一過程自動發生在find中，與union無關，所以與上述兩種union操作並不衝突。x)
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