多項式演算法 Part 5 分治FFT 學習筆記

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分治fft是一種基於cdq分治（不是很懂和cdq有什麼關係）的演算法，主要用於在\(o(nlog^2n)\)的時間複雜度內計算以下內容：

給定數列\(g_1\sim g_\)，求\(f_0\sim f_\)，其中\(f_i\)滿足

\[f_0=1\\

f_i=\sum_^jf_\times g_j

\]我們可以借鑑分治的思想，對於當前的\(f_l\sim f_r\)，設\(mid=\lfloor\frac\rfloor\)

先遞迴計算\(f_l\sim f_\)，接著考慮前半部分對後面的貢獻。

設對\(f_x(mid+1\le x\le r)\)的貢獻為\(w_x\)，則有

\[w_x=\sum_^f_i\times g_

\]為了下面推導方便，把範圍擴大，設\(f_i=0(mid+1\le i\le r)\)：

\[w_x=\sum_^f_i\times g_\\

w_x=\sum_^f_\times g_

\]此時設\(a_i=f_,b_i=g_\)，則有：

\[w_x=\sum_^a_i\times b_

\]那麼就會發現這是乙個卷積的形式，使用fft計算即可。

好像挺簡單的？以前都沒敢學來著

例題： luogu p4721 【模板】分治 fft

這裡我使用ntt來實現演算法，當然使用fft也是沒有問題的。

加了io優化，**可能有點亂？

時間複雜度 \(o(nlog^2n)\)

空間複雜度 \(o(n)\)

// luogu-judger-enable-o2

#include #include #include #include #include #define rint register int

typedef long long ll;

//----- io optimize -----

#define getchar (p1==p2&&(p2=(p1=in)+fread(in,1,1<<20,stdin),p1==p2)?eof:*p1++)

char in[1<<20],*p1=in,*p2=in,ch,out[1<<21],*outp=out,st[15],*tp=st;

inline int getint(register int x=0)

inline void putint(int x,char c)

const int p=998244353,g1=3,g2=(p+1)/3;//g2為1/3 mod p

inline int add(int a,int b)

inline ll pow(ll a,ll b)

namespace poly

}int n,f[1<<18],g[1<<18];

int main()

{ n=getint(),f[0]=1;

for(rint i=1;i分治fft還是比較簡單易懂的。

其中還有乙個小優化：對於遞迴到範圍較小的序列，直接暴力卷積，常數更小。

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