從矩陣的定義開始談OpenGL矩陣變換

前言

矩陣的定義

先從2d場景說起.先從乙個最簡單的問題開始.

q1：乙個點p(x,y)它關於原點o的對稱點為p'(x',y')，請問x'，y'與x，y有什麼關係？

下面兩個問題稍微難一些。

q2：點

繞o逆時針旋轉45°，得到點p'(x', y')，求p'的座標。

a2：設p座標為p(x,y)，且滿足

由題意

p旋轉45°後得到p'(x',y')，由三角函式知識可得

由公式，

可得

所以p'座標為

.q3：點p(x,y)繞o逆時針旋轉且旋轉角為α，得到p(x',y')，請問x'，y'與x，y有什麼關係？

a3：設

則即

設p(x,y)經過某種變換之後得到點p'(x',y')，且滿足

，則這種變換被稱為線性變換（linear transformation）.為方便，我們把這種變換記作乙個正方形數表

這種數表被稱為矩陣（matrix）。這裡這個數表是2x2的，因此被稱為二階矩陣。例如q1中，矩陣為

；q2中，矩陣為

q3中，矩陣為

。為方便，我們將點p(x,y)理解為乙個從o指向p的向量，將(x,y)稱為向量op的座標。討論矩陣時，可以認為點p和向量op是等價的，不區分它們。點p(x,y)經過某種變換後得到點p'(x',y')，與向量v(x,y)經過某種變換後得到向量v'(x',y')兩種說法等價。

像矩陣一樣，(x,y)也可以寫成一列的形式

這種形式的向量被稱為列向量。

矩陣運算（矩陣乘向量）

如果向量v經過矩陣m的變換後得到乙個新的向量v'，我們為方便，就會說向量v'是矩陣m與向量v的乘積，記為v'=mv.注意矩陣要在前面，不能寫成v'=vm.

如果矩陣m1，m2分別和向量v相乘（也就是向量v經過m1，m2的變換後），得到乙個新的向量v'，記作

.矩陣運算（矩陣乘矩陣）

如果有3個矩陣m1、m2和m，對於向量v，m2m1v得到的結果和mv相等，可以認為矩陣m1、m2所共同產生的變換等於矩陣m的變換。這種情況下，我們會說m1與m2的乘積等於m，用公式表示就是m1m2=m。

(to be continued)