異或運算的應用

異或是一種基於二進位制的位運算，用符號xor或者 ^ 表示，

其運算法則是對運算子兩側數的每乙個二進位制位，同值取0，異值取1。

它與布林運算的區別在於，當運算子兩側均為1時，布林運算的結果為1，異或運算的結果為0。

交換律：a ^ b = b ^ a

結合律：a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c

d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c

自反性：a ^ b ^ a = b

x ^ x = 0, x ^ 0 = x

void exchange(int a, int
b)

這裡就用到了異或運算的自反性：

首先 a = a ^ b;

然後 b = a ^ b ^ b = a

然後 a = a ^ b ^ a = b

解法一：將所有數加起來，減去1+2+...+1000的和。

這個演算法已經足夠完美了，相信出題者的標準答案也就是這個演算法，唯一的問題是，如果數列過大，則可能會導致溢位。

解法二：異或就沒有這個問題，並且效能更好。將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

解法一很顯然，解法二需要證明一下：

前面提到異或具有交換律和結合律，所以1^2^...^n^...^n^...^1000，無論這兩個n出現在什麼位置，都可以轉換成為1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有數的異或）。

令，1^2^...^n^..^1000（序列中包含乙個n）的結果為t

則1^2^..^n^..^n^..^1000（序列中包含2個n）的結果就是t^n。

t^(t^n)=n。

所以，將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

這個其實是上乙個題目的乙個變形題目，最直接的辦法還是和上面一樣，就是把所有數異或 (奇數個異或是本身，偶數個是0)

比如s = 1111,1010, mask = 1000, s = (1111,1010) ^ (0000,1000) = 1111,0010.

根據規律 x ^ 0 = x, x ^ x = 0, 可以看出，在每一位的運算也是這個規律的 bit ^ bit = 0, bit ^ 0 = bit. 所以當需要把特定位的值取反，把mask中的特定位置１，其他位置０，即可.

#include #define bswap(data, m, n)    \(data & (1
<< m)) == (data & (1
<< n)) ? data : data ^ ((1
<< m) | (1

)

首先看這個巨集定義三目運算符號的後半部分：　data ^ ((1 << m) | (1 << n))

上面我們總結到把特定位置取反需要使用mask，在這裡 ((1 << m) | (1 << n)) == mask，會有兩個特定位置需要取反.假設m=4, n =2, mask = 1010, 第４位和第２位需要取反，其他位置保持不變，當data的第4位和第2位的值不同時，和mask進行^運算，正好這兩位的值交換過來，比如

(0000,1000) ^ 1010 = 0000,0010. 但是若第4位和第2位的值相同時，則不能起到交換的效果，比如

(0000,1010) ^ 1010 = 0000,0000. 由或者是：

(0000,0000) ^ 1010 = 0000,1010. 所以當這兩個位元位的值不相同時可以利用異或來進行位元位交換．當這兩個位元位的值相同時，保持不變即可.

所以由：

(data & (1 << m)) == (data & (1 << n)) ? data : data ^ ((1 << m) | (1 <

異或運算的應用

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