省選模擬56

題意：n堆石子，第\(i\)堆有\(a_i\)個，可以刪除掉為d的倍數個數的石子堆，求後手必勝的刪除方案數。\(n<=5e5,d<=10,a_i<=1e6,\sum\limits_^n a_i<=1e7\)

首先是nim博弈的結論：存在後手必勝的充要條件為\(a_i\)異或和為零

對於\(n<=50,a_i<=10000\)，設\(f[i][j][k]\)表示考慮了前\(i\)堆石子，刪除堆數\(%d=j\)，未刪除的堆xor值為\(k\)的方案數

此時沒有用到\(\sum\limits_^n a_i<=1e7\)的條件

把\(a_i\)按降序排序，那麼每次不小於\(a_i\)最高位+1位的k都不可能貢獻答案，這樣的話複雜度為\(o(nd\times cnt[2^,2_i-1]2_i)\)，不會超過\(o(nd\sum a_i)\)

題意:n個點m條邊的有向圖，q次詢問s->t走d條邊且s只在起點t只在終點經過的方案數。\(n<=100,d<=50,q<=5e5\)

暴力的話直接dp\(f[s][i][t][d]\)表示起點s終點t現在在i走了d條邊的方案數，然後統一回答。

限制只有兩個，可以考慮容斥。

設\(f[i][j][k]\)表示走恰好k步\(i->j\)且不經過\(i,j\)的方案數

\(g[i][j][k]\)表示恰好走k步\(i->j\)的方案數，這個沒有限制直接列舉起點拓展終點dp，複雜度為\(o(n^3d)\)。

\(h[i][j][k]\)表示恰好走k步\(i->i\)且不經過\(j\)的方案數

考慮如何求答案\(f\)

用總方案數-不合法的，前者顯然是g，後面的分類為第乙個不合法為i或j

有\(f[i][j][k]=g[i][j][k]-\sum\limits_^h[i][j][d]g[i][j][k-d]-\sum\limits_^f[i][j][d]g[j][j][k-d]\)

\(h[i][j][k]=g[i][j][k]-\sum\limits_^h[i][j][d]g[i][i][k-d]-\sum\limits_^f[i][j][d]g[j][i][k-d]\)

同時注意\(i=j\)的情況會被多減一次。

題意：\(n\times m\)的01方格圖，定義操作為把1的所在行和列異或一，本身變為0。每次對圖中所有1同時操作，權值為1的個數，直到圖中無1。\(n,m<=1e5\)

定義\(f[i]\)為i行1個數的奇偶性，\(g[i]\)為i列同理

那麼\((i,j)\)一輪操作後會變成\(f[i]\ xor\ g[j]\)

因為只關心每個格仔所在的行和列有多少1，而不關心具體位置，交換行和列對答案沒有影響。

於是把\(f[i]=0\)的放上邊，\(g[j]=0\)的放左邊，會形成4個塊，每個塊要變化產生的值都是相同的，將問題的規模縮小到了\(2\times 2\)，除了初始方格圖只有左下和右上兩個塊會有貢獻，同時可以再次按照此規則移動行列，若不迴圈則最多\(2^4\)次。

現在的問題在於求出初始圖的貢獻和\(f[i],g[i]\)，後者差分即可，前者用掃瞄線+線段樹可以解決。