宣告：本篇博文的內容摘自於《密碼編碼學與網路安全》這本書。
群、環和域都是數學理論中的乙個分支，即抽象代數或稱為近世代數的基本元素。在抽象代數中，我們關心的是其元素能進行代數運算的集合，也就是說，我們可以通過很多種方法，使集合上的兩個元素組合得到集合中的第三個元素。這些運算方法都遵守特殊的規則，而這些規則又能確定集合的性質。根據約定，集合上元素的兩種主要運算符號與普通數字的加法和乘法所使用的符號是相同的。然而，我們必須指出，在抽象代數中，我們並不僅僅限於普通的算術操作。
群g，有時記為,是定義了乙個二元運算的非空集合，這個二元運算可表示為 . ,g中的每乙個序偶(a,b)通過運算生成g中的元素(a.b)，並滿足以下公理：
（a1）封閉性：如果a和b都屬於g，則a.b也屬於g。
（a2）結合律：對於g中任意a，b，c，都有(a.b).c=a.(b.c)成立。
（a3）單位元：g中存在乙個元素e，對於g中任意元素a，都有a.e=e.a=a。
（a4）逆元： g中都存在乙個元素a』，使得下式成立：a.a』=a』.a=e
如果乙個群的元素是有限的，則該群稱為有限群，並且群的階就等於群中元素的個數。否則，稱該群為無限群。
乙個群如果還滿足以下條件，則稱為交換群：
（a5）交換律：對於g中任意的元素a，b，都有a.b=b.a成立。
環r，有時記為,是乙個有兩個二元運算的集合，這兩個二元運算分別稱為加法和乘法，且對於r中的任意元素a，b，c滿足以下公理。
（a1～a5）r關於加法是乙個交換群；也就是說，r滿足從a1到a5的所有原則。對於此種情況下的加法群，我們用0表示其單位元，-a表示a的逆元。
（m1）乘法的封閉性：如果a和b都屬於r，則ab也屬於r。
（m2）乘法的結合律：對於r中的任意元素a，b，c，有a(bc)=(ab)c成立。
（m3）分配律：對於r中的任意元素a,b,c，下面兩個式子總成立:
a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc
本質上說，環就是乙個集合，我們可以在其上進行加法、減法[a-b=a+(-b)]和乘法而不脫離該集合。
環如果還滿足以下條件，則稱為交換環。
（m4）乘法的交換律：對於r中任意元素a,b,有ab=ba成立。
下面，我們定義整環，它是滿足以下公理的交換環：
（m5）乘法單位元：在r中存在元素1，使得對於r中的任意元素a，有a1=1a=a成立。
（m6）無零因子：如果有r中元素a,b,且ab=0，則必有a=0或b=0。
這裡簡單總結一下，群是定義了乙個二元運算的集合而環是定義了兩個二元運算的集合。迴圈群是由乙個元素生成的集合。
階為p的有限域
模算術是一種整數算術，它將所有整數約減為乙個固定的集合[0，1，… ，n-1]，其中n為某個整數。任何這個集合外的整數通過除以n取餘數的方式約減到這個範圍內。
在此之前先複習一下模運算：
模數如果a是整數，n是正整數，則我們定義 a模n 是 a除以n所得的餘數。整數n稱為模數。因此，對於任意整數a，我們總可以寫出
a=qn+r （0<=r）
同餘的性質
模運算有如下性質：
（1）如果n|(a-b),那麼a與b模n同餘。即如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被n整除，即(a-b)/n得到乙個整數，那麼就稱整數a與b對模n同餘，記作a≡b(mod n)。
（2）a與b模n同餘隱含b與a模n同餘。
（3）a與b模n同餘並且b與c模n同餘，那麼隱含a與c模n同餘。
運算(mod n)將所有的整數對映到集合
模運算的性質
定義比n小的非負整數集合為zn：
zn=這個集合被稱為剩餘類集，或模n的剩餘類。更準確地說，zn中每乙個整數都代表乙個剩餘類，我們可以將模n的剩餘類表示為[0],[1],[2],…,[n-1]，其中
[r]=
比如模4的剩餘類為：
[0]=
[1]=
...
在剩餘類的所有整數中，我們通常用最小非負整數來代表這個剩餘類。尋找與k是模n同餘的最小非負整數的過程，稱為模n的k約化。
zn（是有乘法單位元的交換環）中整數運算的性質：
交換律：（w+x）mod n =(x+w) mod n (w * x) mod n =(x * w) mod n
結合律：[(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w*x)y] mod n=[w(x*y)] mod n
分配律：[w*(x+y)] mod n=[(w*x)+(w*y)] mod n
單位元：(0+w) mod n =w mod n (1*w) mod n=w mod n
加法逆元(-w):對於zn中的任意w，存在乙個z使得w+z同餘0 mod n。
令a與n互素，如果(a*b)同餘(a*c)(mod n),那麼b同餘c (mod n) 。
對於任何一般的模數n，如果a和n有任何公因子的話，用乘數a依次作用於0到n-1的所有整數將不會產生乙個完整剩餘類集。一般來說，如果乙個整數與n互素，那麼它在zn中有乙個乘法逆元。
給定乙個素數p，元素個數為p的有限域gf(p)被定義為整數的集合zp,其運算為模p的算術運算。
摘自：
密碼學數學基礎 群 環 域
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