於是，我決心開始深入數學這個浩瀚大海，希望在我再次走出來的時候，我已經有了更強大的**去面對這些問題的挑戰。我的遊歷並沒有結束，我的視野相比於這個博大精深的世界的依舊顯得非常狹窄。在這裡，我只是說說，在我的眼中，數學如何一步步從初級向高階發展，更高階別的數學對於具體應用究竟有何好處。
二、集合論：現代數學的共同基礎
現代數學有數不清的分支，但是，它們都有乙個共同的基礎——集合論——因為它，數學這個龐大的家族有個共同的語言。集合論中有一些最基本的概念：集合(set)，關係(relation)，函式(function)，等價 (equivalence)，是在其它數學分支的語言中幾乎必然存在的。對於這些簡單概念的理解，是進一步學些別的數學的基礎。我相信，理工科大學生對於這些都不會陌生。
不過，有乙個很重要的東西就不見得那麼家喻戶曉了——那就是「選擇公理」 (axiom of choice)。這個公理的意思是「任意的一群非空集合，一定可以從每個集合中各拿出乙個元素。」——似乎是顯然得不能再顯然的命題。不過，這個貌似平常的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結論，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——「乙個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉）後，能組合成兩個一樣大小的球」。
正因為這些完全有悖常識的結論，導致數學界曾經在相當長時間裡對於是否接受它有著激烈爭論。現在，主流數學家對於它應該是基本接受的，因為很多數學分支的重要定理都依賴於它。在我們後面要回說到的學科裡面，下面的定理依賴於選擇公理：
在集合論的基礎上，現代數學有兩大家族：分析(analysis)和代數(algebra)。至於其它的，比如幾何和概率論，在古典數學時代，它們是和代數並列的，但是它們的現代版本則基本是建立在分析或者代數的基礎上，因此從現代意義說，它們和分析與代數並不是平行的關係。
三、分析：在極限基礎上建立的巨集偉大廈
3.1微積分：分析的古典時代--從牛頓到柯西
先說說分析(analysis)吧，它是從微積分(caculus)發展起來的——這也是有些微積分教材名字叫「數學分析」的原因。不過，分析的範疇遠不只是這些，我們在大學一年級學習的微積分只能算是對古典分析的入門。分析研究的物件很多，包括導數(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級數(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分裡面都有介紹。如果說有乙個思想貫穿其中，那就是極限——這是整個分析（不僅僅是微積分）的靈魂。
乙個很多人都聽說過的故事，就是牛頓(newton)和萊布尼茨 (leibniz)關於微積分發明權的爭論。事實上，在他們的時代，很多微積分的工具開始運用在科學和工程之中，但是，微積分的基礎並沒有真正建立。
那個長時間一直解釋不清楚的「無窮小量」的幽靈，困擾了數學界一百多年的時間——這就是「第二次數學危機」。直到柯西用極限的觀點重新建立了微積分的基本概念，這門學科才開始有了乙個比較堅實的基礎。直到今天，整個分析的大廈還是建立在極限的基石之上。
柯西(cauchy)為分析的發展提供了一種嚴密的語言，但是他並沒有解決微積分的全部問題。在19世紀的時候，分析的世界仍然有著一些揮之不去的烏雲。而其中最重要的乙個沒有解決的是「函式是否可積的問題」。
我們在現在的微積分課本中學到的那種通過「無限分割區間，取矩陣面積和的極限」的積分，是大約在2023年由黎曼(riemann)提出的，叫做黎曼積分。但是，什麼函式存在黎曼積分呢（黎曼可積）？數學家們很早就證明了，定義在閉區間內的連續函式是黎曼可積的。可是，這樣的結果並不令人滿意，工程師們需要對分段連續函式的函式積分。
3.2實分析：在實數理論和測度理論上建立起現代分析
在19世紀中後期，不連續函式的可積性問題一直是分析的重要課題。對於定義在閉區間上的黎曼積分的研究發現，可積性的關鍵在於「不連續的點足夠少」。只有有限處不連續的函式是可積的，可是很多有數學家們構造出很多在無限處不連續的可積函式。顯然，在衡量點集大小的時候，有限和無限並不是一種合適的標準。
在**「點集大小」這個問題的過程中，數學家發現實數軸——這個他們曾經以為已經充分理解的東西——有著許多他們沒有想到的特性。在極限思想的支援下，實數理論在這個時候被建立起來，它的標誌是對實數完備性進行刻畫的幾條等價的定理（確界定理，區間套定理，柯西收斂定理，bolzano-weierstrass theorem和heine-borel theorem等等）——這些定理明確表達出實數和有理數的根本區別：完備性（很不嚴格的說，就是對極限運算封閉）。
隨著對實數認識的深入，如何測量「點集大小」的問題也取得了突破，勒貝格創造性地把關於集合的代數，和outer content（就是「外測度」的乙個雛形）的概念結合起來，建立了測度理(measure theory)，並且進一步建立了以測度為基礎的積分——勒貝(lebesgue integral)。在這個新的積分概念的支援下，可積性問題變得一目了然。
上面說到的實數理論，測度理論和勒貝格積分，構成了我們現在稱為實分析 (real analysis)的數學分支，有些書也叫實變函式論。對於應用科學來說，實分析似乎沒有古典微積分那麼「實用」——很難直接基於它得到什麼演算法。而且， 它要解決的某些「難題」——比如處處不連續的函式，或者處處連續而處處不可微的函式——在工程師的眼中，並不現實。
但是，我認為，它並不是一種純數學概念遊戲，它的現實意義在於為許多現代的應用數學分支提供堅實的基礎。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：
3.2.1現在概率論：在現代分析基礎上再生
自從kolmogorov在上世紀30年代把測度引入概率論以來，測度理論就成為現代概率論的基礎。在這裡，概率定義為測度，隨機變數定義為可測函式，條件隨機變數定義為可測函式在某個函式空間的投影，均值則是可測函式對於概率測度的積分。值得注意的是，很多的現代觀點，開始以泛函分析的思路看待概率論的基礎概念，隨機變數構成了乙個向量空間，而帶符號概率測度則構成了它的對偶空間，其中一方施加於對方就形成均值。角度雖然不一樣，不過這兩種方式殊途同 歸，形成的基礎是等價的。
在現代概率論的基礎上，許多傳統的分支得到了極大豐富，最有代表性的包括鞅論 (martingale)——由研究賭博引發的理論，現在主要用於金融（這裡可以看出賭博和金融的理論聯絡，:-p），布朗運動(brownian motion)——連續隨機過程的基礎，以及在此基礎上建立的隨機分析(stochastic calculus)，包括隨機積分（對隨機過程的路徑進行積分，其中比較有代表性的叫伊藤積分(ito integral)），和隨機微分方程。對於連續幾何運用建立概率模型以及對分布的變換的研究離不開這些方面的知識。
3.3拓撲學：分析從實數軸推廣到一般空間--現代分析的抽象基礎
隨著實數理論的建立，大家開始把極限和連續推廣到更一般的地方的分析。事實上，很多基於實數的概念和定理並不是實數特有的。很多特性可以抽象出來，推廣到更一般的空間裡面。對於實數軸的推廣，促成了點集拓撲學(point- set topology)的建立。很多原來只存在於實數中的概念，被提取出來，進行一般性的討論。在拓撲學裡面，有4個c構成了它的核心：
在現代的拓撲學的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個概念是開區間和閉區間的推廣，它們的根本地位，並不是一開始就被認識到的。經過相當長的時間，人們才認識到：開集的概念是連續性的基礎，而閉集對極限運算封閉——而極限正是分析的根基。
連續函式在微積分裡面有個用epsilon-delta語言給出的定義，在拓撲學中它的定義是「開集的原像是開集的函式」。第二個定義和第乙個是等價的，只是用更抽象的語言進行了改寫。我個人認為，它的第三個（等價）定義才從根本上揭示連續函式的本質——「連續函式是保持極限運算的函式」 ——比如y是數列x1, x2, x3, … 的極限， 那麼如果 f 是連續函式，那麼 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的極限。連續函式的重要性，可以從別的分支學科中進行模擬。比如群論中，基礎的運算是「乘法」，對於群，最重要的對映叫「同態對映」——保持「乘法」的對映。在分析中，基礎運算是「極限」，因此連續函式在分析中的地位，和同態對映在代數中的地位是相當的。
比它略為窄一點的概念叫(path connected)，就是集合中任意兩點都存在連續路徑相連——可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。在我看來，連通性有兩個重要的用場：乙個是用於證明一般的中值定理(intermediate value theorem)，還有就是代數拓撲，拓撲群論和李群論中討論根本群(fundamental group)的階。
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