用於求\(a^x \equiv b \pmod\) 高次方程的最小正整數解 \(x\)，其中 \(c\) 為素數
引理1：
\[a^ \equiv a^i \pmod p
\]\(p\)為素數，即 \(a^i\) 在模 \(p\) 的意義下會出現迴圈節 (注: \(\varphi(p)\) 可能不是最小迴圈節)
因為 \(a^\equiv 1\pmod p\)，則 \(a^ \equiv 1 \pmod p\)
所以 \(a^\times a^ \equiv 1 \pmod p\)
即 \(a^\) 為 \(a^\) 模 \(p\) 意義下的逆元
$ \frac}} \equiv a^\times a^ \equiv a^\times 1 \equiv a^ \pmod p$
即 \(a^ \equiv a^ \pmod p\)
又因為 $i \bmod \varphi(p)=i-k\times (p-1) $
且 \(p\) 為素數，\(i-k\times (p-1)=i-k\times\varphi(p)\)
則 \(a^ \equiv a^ \equiv a^ \pmod p\)
qed根據引理1我們可知只需要列舉至多 \(\varphi(c)\) 個數就能知道方程的解，若列舉完後發現無解，則整個方程無解
考慮構造乙個 \(m\)，使得 \(m=\lceil\sqrt\rceil\)
\(x=k\times m-q\)，原方程轉化為 \(a^ \equiv b \pmod\)
繼而得到 $ a^ \equiv b\times a^ \pmod$
到了這一步，我們先考慮列舉 \(b*a^\) 中的 \(q\)，至多 \(\sqrt\) 次，然後我們把得到的值存入乙個hash表中
接著我們開始列舉 $ a^$ 中的 \(m\)，則兩次列舉出來的式子的兩兩組合正好可以得到所有 $a \in [1,x] $，若遇到兩次列舉出來的值相等，則輸出答案，退出迴圈。
code:
#include#include#includeusing namespace std;
#define ll long long
#define int ll
#define hash_mod 76799777ll
maphash;
ll qpow(ll a,ll b,ll c)
ll bsgs(ll a,ll b,ll c)
base=qpow(a,sizes,c);
ll tmp=1;
for(ll i=1;i<=sizes;i++)
return -1;
}ll p,b,n;
signed main()
ll ans=bsgs(b,n,p);
if(ans!=-1) printf("%lld",ans);
else printf("no solution");
}
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