給定 a,p
,b
,a, p, b,
a,p,b,
求滿足 ax≡
b(mo
dp
)a^ \equiv b\pmod p
ax≡b(m
odp)
的最小自然數 xxx。
普通的 bsgs 假設了 p
pp 為質數。
令 x=i×
m−
jx = i \times m -j
x=i×m−
j，其中 m=⌈
p⌉
m = \lceil \sqrt \rceil
m=⌈p⌉
，注意是向上取整。那麼原式為
a i×
m−j≡
b(mo
dp
)a^ \equiv b \pmod p
ai×m−j
≡b(m
odp)
移項得到
a i×
m≡b×
aj(m
odp)
a^ \equiv b \times a^j \pmod p
ai×m≡b
×aj(
modp
)列舉 j∈[
0,m]
j \in [0,m]
j∈[0,m
]，預處理出 b×a
jb \times a^j
b×aj
並在乙個桶中記錄。
列舉 i∈[
1,m]
i \in [1,m]
i∈[1,m
]，找到第乙個滿足 ai×
m≡b×
aj(m
odp)
a^ \equiv b \times a^j \pmod p
ai×m≡b
×aj(
modp
)。此時 x=i
×m−j
x = i \times m - j
x=i×m−
j 即為答案。
證明略，我不會。可以發現 bsgs 複雜度為 p
\sqrt
p，如果用 map 當桶的話加個 log
\log
log。
#include
using
namespace std;
const
int n =
1e5+
5, inf =
0x3f3f3f3f
;#define int long long
inline
intread()
//a^x = b (mod p)
map<
int,
int> mp;
intksm
(int a,
int k,
int p)
return res % p;
}int
bsgs
(int a,
int b,
int p)
return-1
;}signed
main()
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