學習筆記左偏樹入門

主要是整理自己想出來的幾個梗

吶，下面進入正題。左偏樹，一種可以合併的堆狀結構，支援$insert/remove/merge$等操作。穩定的時間複雜度在$\theta(\log n)$的級別。對於乙個左偏樹中的節點，需要維護的值有$dist$和$value$。其中$value$不必多說，$dist$記錄這個節點到它子樹裡面最近的葉子節點的距離，葉子節點距離為$0$。

首先，他有以下幾個喜聞樂見的性質：

那麼這就可以推出以下性質：

$emmm$這可是乙個很美妙的性質啊。

這是整個左偏樹的重頭戲，時間複雜度穩定在乙個$log$，其主要思想就是不斷把新的堆合併到新的根節點的右子樹中——因為我們的右子樹決定「距離」這個變數，而距離又一定保證在$~\log~$的複雜度內，所以不斷向右子樹合併。

大體思路（以小根堆為例），首先我們假設兩個節點$x$和$y$，$x$的根節點的權值小於等於$y$的根節點（否則$swap(x,y)$），把$x$的根節點作為新樹$z$的根節點，剩下的事就是合併$x$的右子樹和$y$了。

合併了$x$的右子樹和$y$之後，$x$當$x$的右子樹的距離大於$x$的左子樹的距離時，為了維護性質二，我們要交換$x$的右子樹和左子樹。順便維護性質三，所以直接$dist_x = dist_+1$.

inline int merge(int x, int y)

我們觀察，我們是不斷交替拆分右子樹，由推論可得我們的距離不會大於$\theta(\log(n_x+1))+\theta(\log(n_y+1))-2 =o(\log n_x+ \log n_y) $

這個地方比較喜聞樂見的是需要存$root$，即需要路徑壓縮。不路徑壓縮的話，尋一次$rt$就是$\theta(n)$的了，複雜度是不對的但似乎luogu的模板，不路徑壓縮會更快

……$pop$的話，亂搞就好了$233$

inline void pop(int x)

然後就是總**：

#include #include #define maxn 150010
#define swap my_swap
#define ls s[x].son[0]
#define rs s[x].son[1]
using namespace std ;
struct trees[maxn] ; int n, t, a, b, c, i ;
inline int merge(int x, int y) ; 
int my_swap(int &x, int &y)
inline int get(int x)
inline void pop(int x)
inline int merge(int x, int y)
int main()
else 
}	return 0 ;
}

問題大概就是路徑壓縮……

$luogup3377$

很不負責任地處了資料，導致以下這份**可以過：

using namespace std ;
struct trees[maxn] ;
int n, t, a, b, c, i ;
inline int merge(int x, int y) ; 
int my_swap(int &x, int &y)
int get(int x)
inline void pop(int x)
inline int merge(int x, int y)
int main()
else 
}return 0 ;
}

一切都很正常，但問題在於他複雜度不對：

int get(int x)

這顯然是個上界為$o(n)$的函式……不寒而慄……

所以他是不對的，這組資料可以很好的卡掉（由巨佬小粉兔製作）。

所以應該用乙個並查集維護。而我們在路徑壓縮之後，必須要在$pop$後，給$pop$掉的點乙個指標指向新的根，所以：

inline int get(int x)
inline void pop(int x)

於是最後的**：

#include #include #define maxn 150010
#define swap my_swap
#define ls s[x].son[0]
#define rs s[x].son[1]
using namespace std ;
struct trees[maxn] ; int n, t, a, b, c, i ;
inline int merge(int x, int y) ; 
int my_swap(int &x, int &y)
inline int get(int x)
inline void pop(int x)
inline int merge(int x, int y)
int main()
else 
}	return 0 ;
}

$\rm$

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