事實上我也不知道這算是哪個型別的博弈
是在複習$noip$初賽的時候看到的乙個挺有趣的博弈
所以就寫出來分享一下
$upd \ on \ 2018.10.12$忽然發現這個其實就是$fibonacci nim$...
題目：有n張紙牌，a，b兩人輪流按照以下規則取牌。
規則一：a先取，但是不能在第一次將紙牌全部取完，而且至少要取一張；
規則二：每次所取紙牌張數必須大於或等於1,且小於等於對手剛取的紙牌張數的兩倍。取到最後一張牌者為勝者。
輸入紙牌的張數n，判斷a是否必勝，如果必勝，輸出」win」，否則輸出」lose」。
問題分析：當n較小時，可以歸納如下：
⑴2張牌時，先拿的人必輸；
⑵3張牌時，先拿的人必輸；
⑶我們先看5張牌的情況，假如我們把取5張牌分成兩個步驟：先取前面2張，再取後面3張，為什麼可以這樣分成兩個步驟？因為後取者有這個權力！先者只能取第一張，後者可以取到第二張，這樣，後者就必可以取到第5張牌，先者必輸。
同樣，如果是8張牌時，可以分為：先取前面3張，再取後面5張，後者勝，先者必輸。
結論：⑴如果牌的張數$n$是$fibonacci$數時，先取牌者必敗。 ⑵對所有非$fibonacci$數都是先取人必贏，反之，必敗。
下面給出一般性證明：
假設$n<=k$，且牌數為$fibonacci$數時，都是取牌者必輸。
那麼$n=k+1$時，因為$f(k+1)=f(k)+f(k-1)$，即要取完$f(k+1)$張牌，可以分成兩步：先取完$f(k-1)$張牌，再取完$f(k)$張牌。對於$f(k-1)$張牌，先取a者輸！意味著對於$f(k)$張牌，a還得必須先取，所以a輸。
那麼，牌數為非$fibonacci$數時，先取牌者有沒有必勝的策略呢？
引用乙個定理：當乙個數不是$fibonacci$數時，這個數必然等於若干個$fibonacci$數之和，並且這些$fibonacci$數在$fibonacci$數列中都不相鄰。
比如：$78=55+23＝55+21+2$（其中55,21,2都是$fibonacci$數）；
對於非$fibonacci$數$a0$，設f(n)是小於4a0$的最大$fibonacci$數。
$a0=f(n)+…+f(i)+f(j)$，其中$f(j)$是式中最小的$fibonacci$數，$f(i)$是第二小的$fibonacci$數。由於$f(i)$、$f(j)$在$fibonacci$數列中並不是相鄰的，所以$f(i)>2*f(j)$。所以先取者可以直接取走$f(j)$張牌，後取者無法一次取走$f(i)$張牌，$f(i)$是$fibonacci$數，由前面的分析，後取者必敗。
結論：對所有非$fibonacci$數都是先取人必贏，反之，必敗。
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