原題
兩個玩家，一堆石頭，假設多於100塊，兩人依次拿，最後拿光者贏，規則是：1. 第乙個人不能一次拿光所有的；2. 第一次拿了之後， 每人每次最多只能拿對方前一次拿的數目的兩倍。求先拿者必勝策略, 如果有的話。怎麼證明必勝。
分析這是斐波那契博弈，當且僅當石頭個數是斐波那契數的時候先手必敗。
讓我們用第二數學歸納法證明：
為了方便，我們將n記為f。
首先當 i=2 時，因為不能全部去完，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。
其次假設當 i<=k 時，結論成立。
則當 i=k+1 時，f= f[k]+f[k-1]。
則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。（一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手可以直接取完f[k]，因為 f[k] < 2*f[k-1]）
對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況。
如果先手第一次取的石子數 y>=f[k-1]/3 ，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手可以直接取完，此時 x=f[k-1]-y ，則 x<=2/3*f[k-1] 。
我們來比較一下 2/3f[k-1] 與 1/2f[k] 的大小。即 4f[k-1]與 3f[k] 的大小，對兩值作差後不難得出，後者大。
所以我們得到，x<1/2*f[k] 。
即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。
即i=k+1時，結論依然成立。
那麼，當n不是fibonacci數的時候，情況又是怎樣的呢？
這裡需要借助「zeckendorf定理」（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的fibonacci數之和。
關於這個定理的證明，感興趣的同學可以在網上搜尋相關資料，這裡不再詳述。
分解的時候，要取盡量大的fibonacci數。
比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，
依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。
則我們可以把n寫成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）
我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由於各個f之間不連續，則a(p-1) > ap + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即後手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。
此時後手相當於面臨這個子遊戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。
同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。
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