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新年祝福
15個人聚集在一起，新年到來，他們每個人寫下了一句新年祝福。大家把祝福收集起來，然後重新分回去。如果乙個人拿到了自己寫的祝福，他就會覺得很沒有意思，因為得不到別人的祝福。要避免這種尷尬，一共會有多少種分配方案？
一句話題意：求滿足下列條件的n的排列個數：對於任意i(1≤i≤n)，排列的第i個數不是i。本題中n=15。
例如n=3時，滿足條件的排列有2個：312和231
設答案數列為$a_n$，容易知道$a_0=1$，$a_1=0$，下面我們證明$a_n=(n-1)(a_+a_)$，利用這個式子就可以很容易算出$a_$
我們用這樣乙個角度看待n的乙個排列：對於排列的第i個數$b_i$，我們連從i向$b_i$一條邊，最後會得到一些環。例如2143對應兩個環：1->2->1和3->4->3，長度均為2。31245對應3個環：1->3->2->1，4和5，長度分別為3、1、1。
乙個符合條件的完全錯位的排列不能有長度為1的環。要統計n時的所有合法排列，我們可以把它們分成兩類：n所在環長度為2和n所在環大於2。第一類我們可以列舉與n在同乙個環上的數字，一共有n-1種可能，此後剩下的n-2個數字可以獨立考慮，方案數為$a_$，所以是$(n-1)*a_$。第二類在刪除掉n這個數以後仍然是合法排列，可以在n-1的所有排列上任意位置插入乙個n來得到，共有n-1種插入位置，所以是$(n-1)*a_$。因此$a_=(n-1)(a_+a_)。$
定位：中等題、思維題
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