給定 \(n\) 個集合, 每個集合包含 \([1,m]\) 中的一些整數, 在這些集合中隨機選取 \(k\) 個集合, 求這 \(k\) 個集合的並集的權值的期望.
乙個集合的權值定義為, 對於所有 \([1,m]\) 的整數, 若集合中含有 \(i\) 則產生 \(a_i\) 的貢獻, 否則產生 \(b_i\) 的貢獻.
\(n\le 1\times 10^5, m\le 18,k\le 25\)
好像只有我乙個寫了一些玄學fwt操作...別人都是組合數直接碾的qaq
顯然我們可以通過求所有最終集合的生成概率來計算出最終期望. 而這個概率顯然就是個或卷積的形式.
於是我們可以fwt一發.
接著我們發現直接fwt卷 \(k\) 次可能會有重複的方案. (就像[bzoj 3771] triple那題). 於是我們需要考慮容斥.
然而這次是廣義容斥, 普通二項式反演出來是假的.
stdcall&棟棟說過廣義容斥瞎換一波係數就過了, 於是思考一些奇怪的東西來湊容斥係數.
fwt卷 \(k\) 次後得到的方案數是 \(n^k\), 而我們實際上需要的不重複的方案數應該是 \(n^\) (卷積出來的方案有序, 要自帶乙個全排列), 那麼我們需要用一些玄學係數用 \(n^k\) 湊出 \(n^\).
注意到其實 \(n^\) 就是乙個普通多項式, 那麼我們可以直接算出這個多項式的每一項係數把它作為容斥係數.
實際上就是帶符號第一類斯特林數. 用這個係數容斥一下就好了.
fwt一次後的點值可以重複使用, 所以總時間複雜度是 \(o(\sum|s|+(k+m)2^m)\).
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