標準二維表問題

問題描述：

設n 是乙個正整數。2xn的標準2維表是由正整數1，2，…，2n 組成的2xn 陣列，該陣列的每行從左到右遞增，每列從上到下遞增。2xn的標準2維表全體記為tab(n)。

例如，當n=3時tab(3)如下：

思路分析：首先明確一下每行的數總是左邊小於後面，上面小於下面，以上面的第一種情況進行分析，我們把第一行的數字對應為1表示進棧

。第二行的數字對應為-1表示出棧。我們知道一般情況進棧和出棧時棧裡面的元素個數大於等於0，那麼數字1看成進棧-1看成出棧，則總數之和要大於等於0。

即進出棧操作任何時刻進棧次數大於等於出棧的次數。那麼上表的第一行第乙個元素表示第一次是進棧操作，下面的4對應的是第一次進棧的元素在第四次出棧，第一行第二列2

表示第二次操作是進棧對應對應下面的5表示第五次操作是出棧，即把第二次進棧操作的元素出棧，依次類推，第三次是進棧操作，第六次把第三次進棧的元素彈出棧。

所以我們可以把錶看出是元素的進出棧的操作，則tab(n)表示求元素個數為n的所有可能進出棧的操作。於是問題轉換為n個元素所有可能進出棧的情況。

而求進出棧的所有可能情況的方法就是卡特蘭數。下面簡單介紹一下卡特蘭數。

事實上，可以認為問題是，任意兩種操作，要求每種操作的總次數一樣，且進行第k次操作2前必須先進行至少k次操作1。我們假設乙個人在原點，操作1是此人沿右上角45°走乙個單位（乙個單位設為根號2，這樣他第一次進行操作1就剛好走到（1,1）點），操作2是此人沿右下角45°走乙個單位。第k次操作2前必須先進行至少k次操作1，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次操作1和n此操作2後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將為c（2n，n），即在2n次操作中選出n次作為操作1的方法數。

現在只要減去跨越了x軸的情況數。對於任意跨越x軸的情況，必有將與y=-1相交。找出第乙個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即操作1與操作2互換了）。可以發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）。由於對稱總是能進行的，且是可逆的。我們可以得出所有跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數。而後者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1為n-1,操作2為n+1。總數為c（2n，n-1）。

catalan數和出棧序列的對應：

動態規劃：我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：

f(1) = 1     //即 1

f(2) = 2    //即 12、21

f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231

然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。

分析：1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；

2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有乙個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，     根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，

根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即         f(3)；

結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

下面是推導式，不給證明了

另類遞推式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

遞推關係的解為:

h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

遞推關係的另類解為:

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

那麼我們了解了卡特蘭數之後就可以寫**了，demo如下

1 #include2

3using
namespace
std;
4int tan(int
n)1213}
14int
main()
15

其前幾項為 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

所以n較大的時候int就無法表示，下面是處理大整數後的思路（關於大整數的內容可以我的參考這篇部落格（

下面是具體的大卡特蘭數

1 #include2

using
namespace
std;
3char array1[200];4
char array2[200];5
int sum[400];6
string f(string s1,string s2)//
大整數乘法721
}22int f=0;23
while(true)31
else34}
35string a="";36
int ig=0;37
for(int i=l1+l2-1;i>=0;i--)
41if(ig==1)44
}45return
a;46}47
string div(string a,int b)
58int j=0;59
string
as="";60
while(s[j]=='0'
)61 j++;
6263
for(;j)
64as+=s[j];//商65
returnas;
6667}68
int t(string n)//
把字串變為int型別
6976
return
a;77}78
string tan(string n)97}
98int
main()
99

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