先上結論：
\(\boldsymbol v\)和\(\boldsymbol w\)點積，就是向量乘法\(\boldsymbol v × \boldsymbol w^t\)；
\(\boldsymbol w\)象徵著乙個降維變換矩陣，因此該矩陣乘法本質上是乙個\(\boldsymbol v\)降維的過程；
該降維變換在幾何上正是投影過程。
綜上，點積的幾何意義就是投影相乘。
要理解這一點，需要線性代數基礎，要理解矩陣和變換之間的關係。
我們所學的向量點積是這樣的：
其幾何解釋為：向量\(\boldsymbol w\)在向量\(\boldsymbol v\)上投影，投影長度和\(|\boldsymbol v|\)相乘。
借助這一幾何解釋，我們可以直觀地理解：
注意！理解、證明點積的對稱性，對我們的證明至關重要！
假設\(\boldsymbol w \bigodot \boldsymbol v\)，對稱性的意思是：
無論是\(\boldsymbol v\)在\(\boldsymbol w\)上作投影再乘，還是\(\boldsymbol w\)在\(\boldsymbol v\)上作投影再乘，結果都是一樣的。
現在我們證明這一點。
如圖，假設二者長度相同，那麼對稱性顯然成立：因為投影長度是一樣的。
現在，假設\(\boldsymbol w\)更長。
我們在\(\boldsymbol w\)的方向上取\(\boldsymbol w'\)，使得\(|\boldsymbol w'|\)等於\(|\boldsymbol v|\)。
我們先考慮\(\boldsymbol w' \bigodot \boldsymbol v\)。由於長度相同，對稱性是顯然的。
而\(\boldsymbol w \bigodot \boldsymbol v\)，和\(\boldsymbol w' \bigodot \boldsymbol v\)只相差常數\(\alpha\)倍：
\[\alpha = \frac
\]假設現在有矩陣：
\[ \begin
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end
\]這是乙個單位陣，作用在任何乙個向量\([a,b]\)上，仍然會得到\([a,b]\)。
本質原因是：
顯然兩個基向量的位置都沒發生變化，因此這個變換沒有任何變化效果。
而\(a\)是基向量\(\boldsymbol i\)是權重，\(b\)是基向量\(\boldsymbol j\)是權重，\([a,b]\)可以拆解為\(a\boldsymbol i + b\boldsymbol j\)。
由線性性，對任意乙個向量\([a,b]\)進行線性變換，等於兩個分量分別變換，再相加。
因此任意乙個向量與單位陣相乘仍然是其本身。
再舉乙個例子。設有矩陣：
\[ \begin
1 & 0 \\
\frac} & \frac} \\
\end
\]與向量\([a,b]\)相乘，結果為：
\[[a,b] \begin
1 & 0 \\
\frac} & \frac} \\
\end = [a+\frac}b,\frac}b]
\]如果理解了矩陣和變換的含義，理解這個結果就特別簡單：
基向量\(\boldsymbol i\)紋絲不動，而基向量\(\boldsymbol j\)變換到了\([\frac}, \frac}]\)。
\([a,b]\)可以拆解為\(a\boldsymbol i + b\boldsymbol j\)；
因此\([a,b]\)變換到了\(a[1,0] + b[\frac}, \frac}]\)，結果就是\([a+\frac}b,\frac}b]\)
線性性對我們的證明特別重要，可以解釋為什麼能分別對基向量作變換，再疊加。
我們都知道，線性性包含齊次性和疊加性。
要證明某乙個變換是線性變換，就必須證明該變換具有這兩個性質。
我們在這裡省略嚴格的證明，換乙個直觀的角度予以證明。
線性變換有乙個直觀的特點：
在二維空間中，如果有一系列等距分布於同一直線上的點：
那麼線性變換之後，這些點在數軸上仍是等距分布的：
該過程滿足保持等距條件。
因為如果把作用向量放大\(\alpha\)倍，實際上就是把兩個基向量的權重分別放大\(\alpha\)倍。
被變換作用後再疊加，效果也是放大\(\alpha\)倍。因此等距點仍然是等距點。
這樣，我們就粗略說明了該變換是線性變換。
因此我們完全可以認為：
向量[2,1]表徵乙個從二維到一維的線性變換，將基向量\(\boldsymbol i\)變換至數軸點2，將基向量\(\boldsymbol j\)變換至數軸點1。
現在，我們解釋為什麼點積可以用投影後的乘積來解釋。
我們先來看乙個單位向量\(\boldsymbol u\)。
由於是單位向量，因此\(\boldsymbol i = [1,0]\)往\(\boldsymbol u\)上做投影，和\(\boldsymbol u\)往\(\boldsymbol i = [1,0]\)（也即x軸）上做投影，長度是一樣的！
也就是說：圖中綠色虛線投影得到的投影長度，等於\(\boldsymbol u\)的橫座標\(u_x\)。
同理：圖中紅色虛線投影得到的投影長度，等於\(\boldsymbol u\)的縱座標\(u_y\)。
好了。此時假設向量\(\boldsymbol w\)要和單位向量\(\boldsymbol u\)點積。
由上一節推出的性質，基向量在變換\(\boldsymbol u\)下，會分別對映（降維）到點\(u_x\)和\(u_y\)。
設\(\boldsymbol w = [w_x,w_y]\)，那麼\(\boldsymbol w\)就會對映到\(w_xu_x+w_yu_y\)。
這就是點積！！！
所以，為什麼可以理解為：\(\boldsymbol w\)先投影到\(\boldsymbol u\)上，再做乘積呢？
\(\boldsymbol w\)可以拆解為基向量的加權組合。
每乙個基向量與變換\(\boldsymbol u\)（先規定為單位向量）作用的結果，又可以分為：
該變換相當於投影到\(\boldsymbol v\)所在數軸上的一點。
該點的座標，正是\(\boldsymbol u\)的橫座標或縱座標。
由線性性，基向量分別變換後再相加，等價於向量\(\boldsymbol w\)整體變換的結果。因此我們把兩個投影值相加，就得到了最終結果。
因此，從計算過程上看就是：座標和權重相乘，再相加。這就是點積！
從投影過程上看：\(\boldsymbol w\)在\(\boldsymbol v\)上投影，恰好也可以拆分成兩個基向量在\(\boldsymbol v\)投影的疊加。因此點積都是投影！
如果\(\boldsymbol u\)不是單位向量，再乘以其範數即可。這就是完整的點積：投影→相乘！
解釋完畢！
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