小w又來氵題解啦~~
戳這裡給出乙個質數 ，要求你判斷這個質數是否是兩個立方數的差，即判斷是否存在正整數\(a,b\)滿足\(a^3-b^3=p\)。
從檔案cubicp.in中讀入資料。
多組資料。
第一行給出乙個\(t\) ，表示有\(t\)組資料。
接下來\(t\)行，每行乙個質數\(p\)。
輸出到檔案cubicp.out中。
輸出\(t\)行，對於每個數如果是立方差數，輸出yes，否則輸出no。
對於\(30\%\)的資料,\(2≤p≤100\);
對於\(60\%\)的資料,\(2≤p≤10^6\)
對於\(100\%\)的資料\(2≤p≤10^\),\(1≤t≤100\),並且保證每個\(p\)均為質數。
看了這道題……很明顯，這是一道數學題（你這不是廢話嗎）。
首先，這裡有乙個立方差。
由立方差公式：\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)\)
可得：\(p=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)\) （字母都一樣啊喂！）
∵ \(p\) 為質數
∴ \((a-b)=1\)
這裡小w解釋一下：因為題目中已經說\(p\)是質數了，所以\((a-b)\)和\((a^2+ab+b^2)\)肯定有乙個為\(1\)（要是有其他的就不是質數了對吧）
而要是\((a^2+ab+b^2)=1\)的話，我們就會明顯地發現：\(a^3-b^3=a-b\)
明顯不成立
所以這裡只能讓\((a-b)=1\)了
接著繼續：
∴ \(b=a-1\)
這個也不用多說了吧？簡易方程五年級下學期謝謝。
然後我們就只需要列舉乙個\(a\)到\(\frac\)。因為\(p\)最大為\(10^\)，所以這裡也就是\(10^6\)。
這樣的話，單次時間複雜度為\(o(\frac)\)，總共為\(o(\frac)\)
貼下**：
#include using namespace std;
long long p;
long long t;
bool flag;
inline long long read()
while (ch >= '0' && ch <= '9')
return x * f;
}int main()
}if (flag == true)
continue;
printf("no\n");
}return 0;
}
這個想法來自於lmt（%%%），他寫出了比標程還快的程式！
剛剛我們已經推到了\(p=(a^2+ab+b^2)\)，並且\(b=a-1\)
那麼\(p=(a^2-2ab+b^2+3ab)\)
由完全平方公式\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
可得：\(p=(a-b)^2+3ab\)
∵ \((a-b)=1\)
∴ \(p=1+3ab\)
∵ \(b=a-1\)
∴ \(p=1+3a(a-1)\)
這樣的話，如果\((p-1)%3≠0\)，也就是說\(p-1\)並不是\(3\)的倍數，這就意味著這個肯定不成立，可以直接輸出no
若成立，那麼\(p=3a(a-1)\)
那麼\(\lfloor \sqrt \rfloor=a-1\)
那麼有人就一臉懵逼了：
這是什麼鬼操作？？？
首先，我們已知\(p=a(a-1)\)
那麼\((a-1)＜\sqrt＜a\)
此時\(\lfloor \sqrt \rfloor=a-1\)
還可以得出\(\lfloor \sqrt \rfloor +1=a\)
這樣，我們就無須列舉\(a\)，成功把時間降到線性。單次時間複雜度\(o(1)\)，總共為\(o(t)\)
#include #include #include using namespace std;
int n;
long long p;
int main() else else }}
return 0;
}
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