三角形的餘弦定理

餘弦定理:如圖，三角形abc,

則$$\cos b=\frac$$

\begin\label|ab|\cos b+|ac|\cos c=|bc|\end

同理有\begin\label|bc|\cos c+|ab|\cos a=|ac|\end

\begin\label|ac|\cos a+|bc|\cos b=|ab|\end

聯立\ref,\ref,\ref,我們發現了乙個三元一次的線性方程組,未知數是$\cos a,\cos b,\cos c$,已知數是三條邊的長度.將\ref$\times |bc|$-\ref$\times |ac|$可得:

\begin\label|bc|\cos b-|ac|\cos a=\frac\end

再聯立\ref和\ref,容易解得$$\cos b=\frac$$

注1:勾股定理是餘弦定理的特例,不妨設b是直角,則$\cos b=0$,因此此時$|ba|^2+|bc|^2=|ac|^2$.這就是勾股定理.

三角形的餘弦定理

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