畫家埃舍爾擅長製作各種充滿空間悖論的圖畫,令人目眩神馳.我在很久以前就欣賞過埃舍爾的繪畫,但是那時候我的知識儲備並不充分,只是純粹地欣賞,並沒有很多想法.但是今天我偶然地又一次看到了埃舍爾的一幅畫，它立馬使我想到了集合論裡的悖論.這幅畫就是
不知讀者看懂這幅圖沒有.我把它解釋一下.如果我們認為下面那隻手$a_$是真實的,上面那隻手$a_$是$a_$畫出來的,然而我們發現上面那隻手$a_$也畫出了下面那只真實的手$a_$，也就是真實的手$a_$正在自己的畫中,這顯然是荒誕的.
埃舍爾的很多畫的很大的乙個特點就是自指,正是自指的存在讓我們感受到了荒謬.比如,上面的圖就存在自指,即,手$a_\to a_ \to a_$,真實的手畫出了另乙隻手,但是畫出的那另乙隻手卻反過來畫出了真實的手本身.這讓我們感受到了荒誕.
反之,如果沒有自指,發生的就是如下情況:$a_\to a_\to a_\to a_\to a_\to a_\to\cdots$,即由真實的手開始,乙隻隻手不斷地畫下去,但是絕對不會在某乙個地方畫出真實的手本身來,此時將不會產生任何矛盾,當然由自指帶來的矛盾所產生的奇異感也就失去了.
我們再看埃舍爾的另外一幅經典畫作品「畫廊」.
畫中的故事從這幅畫中的畫廊入口處開始,版畫在牆上展示,有乙個男士（右下角門口處）凝視著這幅畫.左側乙個青年比門口處的男子要放大了許多，而該青年看的畫也在擴大，一直到達窗邊有乙個老婦人的建築物下並與其相連.因此在這個建築的下面成了畫廊,同時,本來是看版畫的青年,卻成了版畫中的人物.
和第一幅畫的原理一樣,看畫的青年竟然在自己所看的畫中.這也設計到自指.
我們再來欣賞乙個例子.
在該圖畫中,一截樓梯不斷地抬高,最後竟然抬高到了自己！這也涉及到了自指.本來一階樓梯即使無限抬高上去,但是不抬高到自己還是說的過去的.然而階梯一直抬高,以至於最後抬高到了自己，就說不過去了,因為一階樓梯不可能自己比自己高的！
埃舍爾畫作的精妙之處在於,既構造了自指悖論,讓觀賞者從理性上認識到畫中的情形是不可能實現的,但是又借助於其高超的視覺欺騙藝術,讓荒誕的情節在視覺下變得似乎很合理.
自指和集合論中著名的羅素悖論也有關係.羅素悖論說:
如果存在乙個集合$a$,$a$的元素是那些不屬於自身的集合,那麼$a$到底屬於還是不屬於自身?如果$a$屬於自身,容易推出$a$不可能屬於自身.如果$a$不屬於自身,那麼容易推出$a$其實應該屬於自身.而$a$要麼屬於自身,要麼不屬於自身.但是無論哪種情形都將帶來邏輯上的矛盾.
羅素悖論給數學世界帶來了第三次危機.後來解決它的方法是在集合論裡引入一條正則公理:
正則公理:若a是非空集合，則a中必含有元素，該元素或者不是集合，若是集合，則與a不相交.由正則公理，可以推出乙個集合不可能屬於自身(詳細的論證請參見我的博文 羅素悖論和正則公理).由此圓滿解答了羅素悖論.從上面的三個埃舍爾的畫作角度來看,正則公理的意義就在於表明
「真實的手不可能出現在那隻手正在畫的畫中」
「看圖畫的人不可能正在自己看的那幅圖畫中」
「一階樓梯不斷抬高，不可能在某個時候抬高到自己」.這三者都是「乙個集合不可能屬於自身」的具體表現,其中「屬於」這個關係分別表現為「畫出」,"出現在畫中","階梯抬高".
學成績不佳的數學大師 埃爾公尺特 Hermite
學成績不佳的數學大師 埃爾公尺特 hermite 他是十九世紀最偉大的代數幾何學家，但是他大學入學考試重考了五次，每次失敗的原因都是數學考不好。他的大學讀到幾乎畢不了業，每次考不好都是為了數學那一科。他大學畢業後考不上任何研究所，因為考不好的科目還是 數學。數學是他一生的至愛，但是數學考試是他一生的...