斐波那契數列指的是每一項都等於前兩項之和的數列，定義為f[1]=1，f[2]=1, f[n]=f[n-1]+f[n-2]（n>=3）。
我們先來研究形如f[n]=c1f[n-1]+c2f[n-2]的數列。
對於這樣的數列，f[n]-xf[n-1]與f[n-1]-xf[n-2]的比值一定是乙個定值，即：
將其進行移項運算，得：
對應得：
回到斐波那契數列的問題中來，把c1=c2=1代入特徵方程組得：
解得：兩組解分別記為x1、y1、x2、y2。
再看：
此式是乙個公比為y的等比數列，第一項為f[1]-xf[0]，第二項為f[2]-xf[1]，以此類推，第n項為f[n]-xf[n-1]，根據等比數列公式f[n]=f[1]qn-1得：
將兩組x、y的解代入得方程組：
將x1=y2；x2=y1代入後，解得：
因為f[0]，f[1]，x1，x2均為已知，可記為常項，得到斐波那契數列的通項公式：
又因為f[1]=f[2]=1，所以得到方程組：
解得：
因此，斐波那契數列的通項公式為：
斐波那契數列 通項公式 數學
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