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第二數學歸納法：硬幣問題和堆垛遊戲
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*第二數學歸納法證明的結論和[第一數學歸納法](是一樣的，都是證明（區域性）非負數元素都具有某些性質。但是第二數學歸納法中p(n)的推理是基於p(0~n)而非僅僅是p(n)。*
第二數學歸納法（strong induction），設p是作用在非負整數的謂詞：
可以看到，在使用第一數學歸納法的時候我們只用了p(n)，而第二數學歸納法相比於第一數學歸納法在推p(n + 1)的時候使用更多的假設（p(0), p(1), p(2) ... p(n) ），用公式表達如下：
第二數學歸納法使用的模版和第一數學歸納法很像，除了兩個地方：
宣告證明使用的是第二數學歸納法
推理部分要假設p(0), p(1), p(2) ... p(n) 都是正確的。
硬幣問題：
在太平洋上有乙個叫做inductia的國家，他們使用一種叫做strong的硬幣（簡稱sg）。當年在印刷這種硬幣的時候由於經費問題就只印刷了面值為3sg和5sg的硬幣。雖然當地居民在找小額零錢（例如4sg或者7sg）的時候會有一些麻煩，但是他們發現任何大於等於8sg的面額都能使用這兩種硬幣找開，例如26sg可以用下面這種方案：
請給出證明。
下面使用第二數學歸納法證明。
設p(n)為對於8+n面額的錢，居民們可以用3sg和5sg的硬幣找開。
當n=0，8sg = 5sg + 3sg，所以p(0)成立。
設p(0)，p(1)，p(2) ... p(n)均成立(n > 2)，證明p(n + 1)成立：對於8 + n + 1的面額，可以前將其變為(8 + n + 1 - 3) + 3即(8 + n - 2) + 3這樣的面額，由於我們已經假設了p(n - 2)的成立，所以(8 + n - 2) + 3可以由p(n - 2)的方案加上乙個3sg的硬幣組合而成，所以p(n + 1)成立。對於n <=2：n = 2時，10 = 5 + 5；n = 1時，9 = 3*3。（這裡要注意將n小於等於2的情況分開討論，因為p(n-2)在n<2的時候沒有定義，即歸納推理的「鏈條」不能斷）
由歸納法，所有大於等於8sg的面額居民都能用這兩種硬幣找開。
注：這個問題本質上是因為5和3的最大公因數是1，所以它們的線性組合可以得出任何數（1的整數倍），另外在5*1 + 3*1 = 8以上的任何數都可以用5a + 3b 表示，其中a和b都是非負數。後面我寫數論部分的時候會給出具體證明的。
堆垛遊戲：
在你的面前是乙個由n個木塊堆起來的堆垛，你每次可以將乙個堆拆成兩個堆，除非這個堆只剩下了乙個木塊。在每次分拆乙個堆的時候你可以獲得一些分數，例如，你將乙個a+b塊木塊的堆拆成了a塊的堆和b塊的堆，你就可以得到a*b分。直到所有的堆都只含乙個木塊，遊戲結束。例如，下圖顯示了乙個拆乙個由10個木塊組成的堆的一種方案，其得分為45分 :
設請問你該採取什麼策略能獲得最高的分數？
我的第一想法是每次都把堆拆成兩個相同高度的堆或者相差為1，例如5*5 = 25 > 1 * 9，但隨後我意識到雖然第一次可能會大，但是隨後可能會比較小，例如2 * 3 < 1 * 8。聯想到這個題是要用歸納法的，自然覺得可能和策略無關，即不管什麼策略都會得到相同的分數。試一下上面這個例子，每次都只拿走乙個木塊：9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45，果然是這樣，其中1+2+3 ... +n = (n+1)*n/2，下面證明：
以下證明使用第二數學歸納法。
設p(n)為對於木塊數為n的堆垛，其得分為n*(n+1)/2，和策略無關。
p(0) = 0，即0*(0+1)/2 = 0，成立。
設p(1), p(2), p(3) ... p(n)成立。對於p(n + 1)，假設我們拆的第一步將其分為了木塊數分別為a和b的兩個堆，第一次得分為a*b，由於a和b都小於n+1，由p(a)和p(b)成立，我們可以知道最終的總得分為第一次的得分ab加上拆剩下兩個堆的分數之和：ab + a*(a+1)/2 + b*(b+1)/2 = (a^2 + b^2 + ab + a + b)/2 = (a^2 + b^2 +2ab + n + 1)/2 = ( (a+b)^2 + (n+1) )/2 = ((n+1)^2 + (n+1))/2 = (n+1 + 1)(n+1)/2。所以推得p(n+1)成立。
由歸納法得到對於任意非負整數n，這個遊戲的最終得分都是n*(n+1)/2，和策略無關。
參考：mathematics for computer science
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