在「文字比較演算法ⅰ——ld演算法
」、「文字比較演算法ⅱ——needleman/wunsch演算法
」中介紹的ld演算法和lcs演算法都是基於動態規劃的。它們的時間複雜度o(mn)、空間複雜度o(mn)（在基於計算匹配字串情況下，是不可優化的。如果只是計算ld和lcs，空間占用可以優化到o(m)）。
nakatsu演算法在計算匹配字串的情況下，有著良好的時間複雜度o(n(m-p))和空間複雜度o(n2)，而且在採取適當的優化手段時，可以將空間複雜度優化到o(n)，這是乙個很誘人的結果。下面將全面介紹nakatsu演算法。
字串a和字串b，計算lcs(a,b)
定義一：設m=len(a)，n=len(b)，不失一般性，假設m≤n。（為後面的計算提供方便。若不滿足，交換a、b即可）
定義二：a=a1a2……am，表示a是由a1a2……am這m個字元組成
b=b1b2……bn，表示b是由b1b2……bn這n個字元組成
lcs(i,j)=lcs(a1a2……ai,b1b2……bj)，其中1≤i≤m，1≤j≤n
定義三：l(k,i)表示，所有與字串a1a2……ai有長度為k的lcs的字串b1b2……bj中j的最小值。
用公式表示就是：l(k,i)=min｛j｝ where lcs(i,j)=k
這個概念比較拗口，比較難以理解。筆者也是反覆研讀多次，才理解的。
用乙個例子來說明：a="cd"，b="cefdrt"。
很明顯的是lcs(2,1)=1，lcs(2,2)=1，lcs(2,3)=1。
滿足lcs(2,j)=1這個條件的j有三個，分別是j=1、j=2、j=3。其中j最小值是1。故l(1,2)=1
為了推導l的計算，有下面幾個定理。
定理一：任意的i，1≤i≤m。有l(1,i)＜l(2,i)＜l(3,i)……
定理二：任意的i，1≤i≤m-1。任意的k，1≤k≤m。有l(k,i+1)≤l(k,i)
定理三：任意的i，1≤i≤m-1。任意的k，1≤k≤m－1。有l(k,i)＜l(k+1,i+1)
定理四：如果l(k,i+1)存在，則l(k,i+1)的計算公式為
l(k,i+1)=min｛min｛j｝，l(k,i)｝ where ｛ai+1=bj and j>l(k-1,i)｝
上面四個定理證明從略。可以從上面四個定理推導出l的計算。
故，l的計算公式為
l(1,1)=min｛j｝ where ｛a1=bj｝
l(1,i)=min｛min｛j｝ where ｛ai=bj｝，l(1,i-1)｝ 此時，i＞1
l(k,i)=min｛min｛j｝ where ｛ai=bj and j＞l(k-1,i-1)｝，l(k,i-1)｝ 此時，i＞1，k＞1
注：以上公式中，若找不到滿足where後面條件的j，則j=maxvalue
當i＜k時，則l(k,i)=maxvalue
maxvalue是乙個常量，表示「不存在」
舉例說明：a=ggatcga，b=gaattcagtta，計算lcs(a,b)
第一步：初始化l矩陣，**中v=maxvalue。
nakatsu演算法l矩陣
i=1i=2
i=3i=4
i=5i=6
i=7 k=1
k=2v k=3vv
k=4vv
v k=5vv
vvk=6vv
vvv k=7vv
vvvv
第二步：依據上面的計算公式，計算**的其餘單元格
nakatsu演算法l矩陣
i=1i=2
i=3i=4
i=5i=6
i=7 k=111
1111
1 k=2v8
2222
2 k=3vv
11444
3 k=4vv
vv66
6 k=5vv
vvv8
7 k=6vv
vvvv
11 k=7vv
vvvv
v
第三步：在矩陣中找尋對角線
1、先找如下的對角線，對角線中有四個單元格的值是v(maxvalue)。不是本演算法的合適答案
nakatsu演算法l矩陣
i=1i=2
i=3i=4
i=5i=6
i=7 k=111
1111
1 k=2v8
2222
2 k=3vv
11444
3 k=4vv
vv66
6 k=5vv
vvv8
7 k=6vv
vvvv
11 k=7vv
vvvv
v
2、再找右邊的一條對角線。
nakatsu演算法l矩陣
i=1i=2
i=3i=4
i=5i=6
i=7 k=111
1111
1 k=2v8
2222
2 k=3vv
11444
3 k=4vv
vv66
6 k=5vv
vvv8
7 k=6vv
vvvv
11 k=7vv
vvvv
v
對角線上的所有單元格的值都不是v(maxvalue)。故本對角線就是演算法的求解。
lcs(a,b)就是對角線的長度。故lcs(a,b)=6。
本演算法的精妙之處就在於這六個單元格的值所對應的字串b的字元就是最長公共子串。
最長公共子串：b1b2b4b6b8b11=gatcga
再將最長公共子串在兩個字串中搜尋一遍，能得出字串的匹配字串。
a：gga_t
c_g__
ab：gaatt
cagtta
注：原本以為能很容易得出匹配字串。不過現在看來還需費一番周折，也是考慮不周。不過已經有大概的解決方案，留待後文介紹。
nakatsu演算法關鍵就是找尋滿足條件對角線（對角線的值沒有maxvalue）,故計算的過程可以沿著對角線進行，先計算第一條對角線，看是否滿足對角線條件，滿足則退出，不滿足則繼續計算下一條對角線，直到計算出滿足條件的對角線。
假設lcs(a,b)=p，則一共需要計算m-p+1條對角線，每條對角線的比較次數為n，則nakatsu演算法的時間複雜度為o((m-p+1)n)，空間複雜度為o(m2)，但由於計算順序的優化，可以將空間複雜度降為o(m)，這應該是令人滿意的了。有關的nakatsu演算法的優化，留待後文介紹。
若各位網友誰有更好的文字比較演算法，也歡迎寫博交流。
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