簡單的說橢圓曲線並不是橢圓，之所以稱為橢圓曲線是因為他們是用三次方程來表示，並且該方程與計算橢圓周長的方程相似。
對密碼學比較有意義的是基於素數域gf(p)和基於二進位制域(gf(2^m))上的橢圓曲線。
下面重點介紹基於gf(p)上的橢圓曲線：
y^2 º x^3 + a*x + b(modp)
其中p是素數，a和b滿足：4a^3 + 27b^2 (mod p) ¹ 0
滿足上述方程的整數對(x, y), 就叫橢圓曲線上的點。
素數域：
其實域就是乙個集合，在其上面進行加，減，乘，除運算而封閉。比如有理數集合，實數集合，複數集合，這些都是無限域，在密碼學中沒有什麼實際意義，所以考慮與整數有關的域，對密碼學有實際意義。
研究最多的就是素數域gf(p)。我的理解就是乙個素數p，在集合[0…p-1]上定義乙個模加，乙個模乘，就構成了乙個有限素數域，比如取p = 5，定義如下模加， 模乘：
模加模乘
下面以連續的橢圓曲線為例介紹一下橢圓曲線上
的點的運算規則
橢圓曲線上點的加法定義
對於橢圓曲線上的任意兩點p(x1, y1),
q(x2, y2),r = (x3, y3)， 其中r = p+q
具體描述如下:
x3 = k^2 – x1 – x2(modp)
y3 = k(x1-x3) – y1 (modp)
其中當p不等於q時
k = (y2 – y1)/(x2 – x1) (modp)
當p等於q時
k = (3*x1^2 + a)/2*y1 (modp)
零元
對橢圓曲線上的任意一點p(x1, y1), 有
p + o = o + p = p
如右圖負元
-p = (x1, -y1)
p – p = o
o = -o
其中o為無窮遠點，一條與y軸平行的直線
只有乙個無窮點o
純量乘法
kp = p+p+p+…+p k個p相加
基於gf(p)上的橢圓曲線舉例
p = 23, a = 1, b = 0
方程：y^2 = x^3 + x(mod23)
橢圓曲線上的點:
(0,0) (1,5) (1,18) (9,5) (9,18) (11,10) (11,13) (13,5)
(13,18) (15,3) (15,20) (16,8) (16,15) (17,10) (17,13) (18,10)
(18,13) (19,1) (19,22) (20,4) (20,19) (21,6) (21,17)
和無窮遠點o構成橢圓曲線上的加法群
其點運算規則和上面講到的連續橢圓曲線
上的運算規則是相同的
公鑰密碼演算法總要基於乙個數學難題，比如rsa的依據是給定兩個數p, q很容易相乘得到n， 而對n進行因式分解則相對困難的多。橢圓曲線密碼體制（ecc）採用的數學難題則是求橢圓曲線加法群的離散對數問題，具體描述如下:
q = kg
其中q為橢圓曲線上的點， g為橢圓曲線上的基點，k 為小於n的整數，n為g的階即, ng = o
根據上節提到的純量乘法知道k, g不難求出q， 但是給定q, g求k就相對困難了，這就叫橢圓曲線加法群上的離散對數問題。
上述整數k，就是ecc私鑰， q為公鑰, 可以利用此金鑰對進行加密，解密，簽名，驗證等公私鑰運算。
根據上節提到的純量乘法知道k, g不難求出q， 但是給定q, g求k就相對困難了，這就叫橢圓曲線加法群上的離散對數問題。
上述整數k，就是ecc私鑰， q為公鑰, 可以利用此金鑰對進行加密，解密，簽名，驗證等公私鑰運算。
下面簡單介紹一下基於gf(p)的橢圓曲線數字簽名演算法(ecdsa)
預備資料: h(待簽名hash值)，公鑰q，私鑰d
簽名過程:
1. 選取乙個隨機數k；
2. 計算k = kmodn, 如果k =0返回第1步重新選取;
3. 計算kg = (x1, y1);
4. 計算r = x1mondn;
5. 如果r = 0返回第2步；
6. 計算s = k^-1*(h+ dr )modn；
7. 如果s = 0, 返回第2步；
其中(r, s)為簽名結果。
驗證過程:
1. 驗證1=2. 驗證1=3. 計算c = s^-1modn
4. 計算u1 = e』*c modn, u2 = r*c mon n
5. 計算u1*g+u2*q = (x1, y1), 如果(x1, y1)為o 返回false
6. 計算v = x1modn;
7. 如果r != v 返回false
8. 返回true
橢圓曲線加密技術（ecc）是建立在單向函式（橢圓曲線離散對數）得基礎上，由於它比ras使用得離散對數要複雜得多。而且該單向函式比rsa得要難。
如160位ecc與1024位rsa有相同的安全強度。而210位ecc則與2048bitrsa具有相同的安全強度
計算量小，處理速度快雖然在rsa中可以通過選取較小的公鑰（可以小到3）的方法提高公鑰處理速度，即提高加密和簽名驗證的速度，使其在加密和簽名驗證速度上與ecc有可比性，但在私鑰的處理速度上（解密和簽名），ecc遠比rsa、dsa快得多。因此ecc總的速度比rsa、dsa要快得多。
儲存空間占用小ecc的金鑰尺寸和系統引數與rsa、dsa相比要小得多，意味著它所佔的存貯空間要小
橢圓曲線密碼體制 ECC 簡介
簡單的說橢圓曲線並不是橢圓，之所以稱為橢圓曲線是因為他們是用三次方程來表示，並且該方程與計算橢圓周長的方程相似。對密碼學比較有意義的是基於素數域gf p 和基於二進位制域 gf 2 m 上的橢圓曲線。下面重點介紹基於gf p 上的橢圓曲線 y 2 x 3 a x b modp 其中p是素數，a和b滿...
ECC橢圓曲線加密
rust實現 注 本博文是sec1 v2中描述的橢圓加密標準 參考資料 1 目錄加密元件 金鑰生成 diffie hellman原根 mqv原根 簽名方案 加密和金鑰傳輸方案 金鑰協商方案 參考資料 記有一串二進位制位表示的資料 b b 0 b 1 dots b 那麼按如下規則轉為八位組 八位組 轉...
現代密碼學之橢圓曲線ECC
橢圓曲線乘法 橢圓曲線結合 elgamal cryptosystem計算例子展示 手算帶步驟 判斷乙個橢圓曲線上有幾個點 reference ecc是由victor miller and neal koblitz1985引入的。對於dsa,rsa，我們需要很大的金鑰長度，而ecc只需要特別餓小的金鑰...