線段樹和樹狀陣列

引入1：有n個數（n<=50000）個數，m(m<=50000)次詢問。每次詢問區間l到r的數的和。要求輸出每一次詢問的結果......

分析：1.用字首和問題進行求解：再開乙個陣列（暫且記為b[n],設n個數所組成的陣列為a[n]），b[i]用來記錄從a[1]到a[i]的所有數字的和（即 b[1]=a[1],b[2]=b[1]+a[2],...,b[i]=b[i-1]+a[i]）。這樣對於m次詢問，只需要對陣列b進行相應的操作就可以了。

eg:求陣列a中區間[l,r]的所有數字的和sum，即sum=a[l]+a[l+1]+...+a[r-1]+a[r]。由於我們之前已經對陣列a求了字首和，並得到字首和陣列b[n]。因此對b[n]進行操作就可以了,即sum=b[r]-b[l-1]。

2.用線段樹進行求解：這裡先告訴大家可以用線段樹來進行求解，具體如何求解我們可以等對線段樹進行一定的講解後再來進行求解。

引入2：rmq(range minimum/maximum query)問題

有n(n<=50000)個數，m(m<=50000)次詢問，要求每次輸出區間[l,r]的數的最大值。

分析：1.用st表進行求解：一種利用dp思想求解區間最值的倍增演算法。

定義：f(i,j)表示[i,i+\(2^j\)−1]這段長度為2^j的區間中的最大值。

預處理：f(i,0)=a[i]。即[i,i]區間的最大值就是a[i]。

狀態轉移：將[i,j]平均分成兩段，一段為[i,i+2(j−1)−1]，另一段為[i+2(j−1),i+2j−1]。兩段的長度均為2(j−1)。f(i,j)的最大值即這兩段的最大值中的最大值。得到f(i,j)=max。

查詢：若需要查詢的區間為[i,j]，則需要找到兩個覆蓋這個閉區間的最小冪區間。

這兩個區間可以重複，因為兩個區間是否相交對區間最值沒有影響。（如下圖）

當然求區間和就肯定不行了。這也就是rmq的限制性。

因為區間的長度為j−i+1，所以可以取k=\(\log_2 (j-i+1)\)。

則所求即為max。

參考**如下：

#include//這段**以詢問最大值為例
#include#includeusing namespace std;
int a[50005];
int f[50005][16];
int main()
int mid=(l+r)/2;
buildtree(p*2,l,mid);//建立左子樹
buildtree(p*2+1,mid+1,r);//建立右子樹
tree[p]=tree[p*2]+tree[p*2+1];
}

-更新操作和查詢操作類似，時間複雜度都為o(logn)。當執行更新操作時，要遍歷到葉子節點，再層層遞迴更新,而查詢操作只需要查詢到包括的區間為止。

更新操作如下：

void change(int p,int l, int r,int x, int num)//給下標為x的位置加上num
int mid=(l+r)/2;
if(x<=mid)
else
tree[p]=tree[p*2]+tree[p*2+1];
}

查詢操作如下：

int query(int p,int l,int r, int x, int y)

完整**如下：

#includeusing namespace std;
int arr[10005],tree[10005];
void buildtree(int p, int l,int r)//p:陣列下標；l:區間左端點；r:區間右端點
int mid=(l+r)/2;
buildtree(p*2,l,mid);//建立左子樹
buildtree(p*2+1,mid+1,r);//建立右子樹
tree[p]=tree[p*2]+tree[p*2+1];
}void change(int p,int l, int r,int x, int num)//給下標為x的位置加上num
int mid=(l+r)/2;
if(x<=mid)
else
tree[p]=tree[p*2]+tree[p*2+1];
}int query(int p,int l,int r, int x, int y)
int main()
while(k--)
{int x,y;
cin>>x>>y;
cout<線段樹和樹狀陣列的題單：

線段樹和樹狀陣列

樹狀陣列和線段樹

線段樹和樹狀陣列

樹狀陣列和線段樹（未完）

線段樹和樹狀陣列

樹狀陣列和線段樹

線段樹和樹狀陣列

樹狀陣列和線段樹（未完）

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