自適應控制所討論的物件，一般是指物件的結構已知，僅僅是引數未知，而且採用的控制方法仍是基於數學模型的方法
但實踐中我們還會遇到結構和引數都未知的物件，比如一些執行機理特別複雜，目前尚未被人們充分理解的物件，不可能建立有效的數學模型，因而無法沿用基於數學模型的方法解決其控制問題，這時需要借助人工智慧學科，也就是智慧型控制
自適應控制與常規的控制與最優控制一樣，是一種基於數學模型的控制方法
自適應控制所依據的關於模型的和擾動的先驗知識比較少，需要在系統的執行過程中不斷提取有關模型的資訊，使模型愈來愈準確
常規的反饋控制具有一定的魯棒性，但是由於控制器引數是固定的，當不確定性很大時，系統的效能會大幅下降，甚至失穩
問題的提出
對於乙個非線性系統
x˙要求設計乙個合理的控制訊號uu=−ax
2+ux˙=−ax2+u
是控制輸入
也是連續且有界的，這個假設在實際中可以滿足，因為跟蹤訊號往往是認為設計的
解決思路
對於現代控制理論，正如前面所述，設計控制訊號實際上是設計誤差動力學系統，因此，設誤差訊號e(
t)=x
(t)−
xd(t
)e(t)=x(t)−xd(t)
，則誤差的動力學系統方程為
e˙由於原系統是滿足matching條件的，即控制訊號和未知引數處於乙個方程中，那麼根據等價確定性原則(certainty equivalence, ce）設計控制器(t)=
−ax2
(t)+
u−x˙
d(t)
e˙(t)=−ax2(t)+u−x˙d(t)
———– (1)
u=接下來需要設計估計引數a^a^x2
+x˙d
−keu=a^x2+x˙d−ke
是控制器引數
a^代入(1)，則(1)可以寫成
e˙定義lyapunov函式(t)=
a~x2
(t)−
ke(t
)e˙(t)=a~x2(t)−ke(t)
———– (3)
v(求導，得e,a~
)=12
e2+1
2ηa~
2v(e,a~)=12e2+12ηa~2
———– (4)
v˙為了達到系統的穩定，則要使得v˙(e,a
~)=e
e˙+1
ηa~⋅
a~˙=
ee˙+
1ηa~
⋅a^˙
v˙(e,a~)=ee˙+1ηa~⋅a~˙=ee˙+1ηa~⋅a^˙
≤0v˙≤0
的更新律為
a^代入，得到˙=−η
⋅e⋅x
2a^˙=−η⋅e⋅x2
———– (5)
v˙由(4),(6)的positive definite特性可以確定(4)是乙個合理的lyapunov函式，由(6)可知(4)有界，即ee(e,a
~)≤0
v˙(e,a~)≤0
———– (6)
uniformly continuous且
limt→∞由此可以得到系統漸進穩定，但是我們此時只是得到了系統的跟蹤誤差漸進收斂到0，但是引數的估計誤差並沒有收斂到0，因為我們設計引數的更新律時，是從系統的角度來設計的。e(t)
=0limt→∞e(t)=0
綜合，整體思路為，先求出對期望訊號xd
(t)xd(t)
，包含耦合抵消項和線性負反饋項兩項組成，其中的未知引數用其引數估計值代替；然後設計lyapunov函式，求導得出引數估計更新律；最後在保證lyapunov函式導數非正的情況下，根據barbalat引理得出跟蹤誤差漸近收斂得結論
存在的問題
引數估計的更新律中，並沒有包含引數估計誤差的負反饋，而是與跟蹤誤差直接耦合在一起a^
˙=−η
⋅e⋅x
2a^˙=−η⋅e⋅x2
，結果導致跟蹤誤差影響引數估計的過程，而引數估計在控制器中直接影響跟蹤誤差，兩者的直接耦合造成了系統閉環效能的下降
改進解決辦法就是浸入與不變(immersion and invariance, i&i)理論。通過引入關於狀態的修正項，從而間接將未知引數引入到引數估計動態當中
我們需要人為設計估計誤差的動態特性，此時uu
，從而證明了引數收斂的穩定性。
總結兩種設計方法只不過是將自適應律的設計問題的轉化了而已，原先的自適應律的設計是直接根據整個系統的lyapunov進行設計，改進的方法是建立引數的動態模型，並根據此系統的lyapunov進行設計
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