約瑟夫環問題

模擬解決約瑟夫問題

遞推解決約瑟夫環問題

遞迴解決約瑟夫環問題

約瑟夫問題大概是這樣的：有n個人圍成一圈，編號為 1， 2，....，n 。從第乙個人開始報數（從1開始），報到 k 數字的人出圈，然後下乙個人又從 1 開始報數，...，以此類推，直到最後只剩下乙個人，問這個人的編號是多少。

#include #include using namespace std;
int n;          // n 個人
int k;          // 報到k數字的人出圈，從1開始報
dequeq;   // 模擬圍成的圈
int main()
while(q.size() != 1)
q.pop_front();          // 將這個人出圈
}cout << q.front() << endl;  // 最後就剩下乙個人，輸出即可
return 0;
}

大概思想：

直到最後還剩下乙個人，那麼他的編號一定是 0（圖中黃色框），我們所要求的也就是這個列的第乙個數字（黃色列第乙個數字）。

我們發現，我們已知的（黃色框）和我們想求的都在同一列，乙個在下邊，乙個在上邊，如果能依次遞推該多好啊

我們正是通過第 i 輪的編號求出第 i - 1輪的編號，然後依次遞推求出來的。那麼相鄰的兩輪編號之間有什麼關係呢，我們來開始分析

我們先看【開始】到【第1輪】編號之間有什麼關係，如下圖：

不難發現，他們的關係是 oldnum = (newnum + 2) % 10。

我們再來看看【第1輪】到【第2輪】編號之間的關係，看看能否找到規律，如圖：

和【開始】到【第1輪】之間的關係 oldnum = (newnum + 2) % 10 比較，彷彿如果接著分析【第2輪】到【第3輪】，是不是有 oldnum = (newnum + 2) % 8

通過查表發現，還真是這麼回事。變化的只有 % 後面的數字，而 % 前面都是固定不變的。那麼這個 % 後面的數字是什麼？

其實他就是上一輪中剩下的人數（圖中第二列）。

我們一開始只知道圖中黃色框為 0，這樣我們就能求出黃色框上面框的數字了：此時 newnum = 0（黃色框），可以求出黃色框上面框 oldnum = (newnum + 2) % 2。然後又可以求黃色框上上面框的編號，.... ,就這樣，通過迭代直到求出一開始的編號。

#include using namespace std;
int main()
// 因為一開始的編號是 從0開始到n-1, 而題目是從1到n編號，所以+1
cout << num + 1 從遞推到遞迴的轉變不難，就如同斐波那契數列求第 n 項那樣，遞推是從底向上，而遞迴是從上至下，遞推是從已知推未知，而遞迴是一開始不知道，就問下一層，直到最底層知道，然後就向上傳。
#include using namespace std;
// 還剩下 current 人的那一輪
int num(int current, int k)else
}int main()

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