歡迎來到百家號「公尺粉老師說數學」，初二下的第一章《三角形的證明》，是對初中幾何中三角形內容作個了結，其中幾個特殊三角形內容是該章節中的重點，如等腰三角形。等腰三角形是數學考試中的中高難度題型出現頻率最高的特殊三角形，所涉及考查的內容集中在等腰三角形的「三線合一」及「分類討論」，特別是等腰三角形的分類討論，是初二各考試中幾何壓軸題的常客，本文將把等腰三角形分類討論情形作個系統的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。
解題經驗：看到「等腰三角形」，首先考慮分類討論
知識分類：
一.對角的分類討論。
解題思路：題目等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進行分類討論。
例1．乙個等腰三角形兩個內角的和為100，則它的頂角度數是_______________
解析:由於題目未明確兩個內角是頂角還是底角,所以要分兩種情況討論:
①「底角+頂角=100」:根據三角形內角和,可算出另一底角為80,所以頂角為20;
②「底角+底角=100」:根據三角形內角和,可算出頂角為80.
例2. 等腰三角形的乙個角是80°，則它頂角的度數是_________
解析: 解析:由於題目未明確這個角是頂角還是底角,所以要分兩種情況討論:
①「頂角=80」:答案即為80;
②「底角=80」:根據三角形內角和,可算出頂角為20.
二.對高的分類討論
解題思路：題目等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內高與界外高兩種情況進行分類討論。
例3.等腰三角形一腰長為5,一邊上的高為3,則底邊長__________
解析:由於題目未未明確高是哪條邊上的高,也未明確是否是界內界外高,所以要分三種情況討論:
①若是底上的高(如圖1):根據勾股定律,可算出底邊長;
②若是一腰上的高(如圖2): 根據勾股定律,可算出底邊長;
③若是界外高—三角形為鈍角三角形(如圖3): 根據勾股定律,可算出底邊長.
三.對邊的分類討論(重點---座標系中的等腰三角形的分類討論)
(一)普通題型
解題思路：題目等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結合三角形三邊關係分腰與底邊兩種情況進行分類討論。
例4.某等腰三角形兩條邊長分別是3和6,則它的周長是__________
解析:由於題目未明確兩邊為何種邊,所以要分兩種情況分類討論:
①「腰=3,底=6」時,3+3=6,不符合三角形三邊關係,所以此種情況不存在;②「底=3,腰=6」時,可算出周長=6+6+3=15
(二)等腰三角形的兩種分類討論方法
1. 「兩圓一線」；
解題思路:①以已知線段為底;作它的垂直平分線；②以已知線段為腰：用線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑，分別作圓。一般有8個點，具體題目要通過計算這些點的座標來考慮是否出現重疊現象。
解題經驗：「兩圓一線」一般符合「兩個定點乙個動點」的等腰三角形中，若是「兩個動點乙個定點」，多採用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用「兩圓一線」確定符合等腰三角形的點可能有幾個及這些點的大致位置.
例5．在平面直角座標系xoy中，已知點a(2，3)，在座標軸上找一點p，使得△aop是等腰三角形，則這樣的點p共有( )個．
解析：已知線段為oa，由勾股定理可得：oa√13。由於題目未明確oa是何種邊，所以要分類討論。
(1)oa為腰時
①以o為圓心，半徑為oa畫圓，與座標軸軸交於四點，如圖1易求出
p1(0，√13)，p2(√13，0)，p3(-√13，0)，p4(0，-√13)；
②以a為圓心，半徑為oa畫圓，與座標軸交於三點(原點捨去)，根據等腰
三角形「三線合一」性質，如圖2可求出：p5(0，6)，p6(4，0)；
(2)oa為底時，作oa的垂直平分線，與座標軸有兩個交點。圖3依勾股定律可求出：p7(0，13/6)，p8(13/4，0)
例6．在平面直角座標系中，o為座標原點，點a的座標為(1，√3)，m為座標軸上一點，且使得△moa為等腰三角形，則滿足條件的點m的個數為( )
a. 4 b. 5 c. 6 d. 8
解析：按上述方法，可得到8個點，但根據對點的座標的計算，發現其中有兩個點出現重疊，所以只有6個點
2. 「三邊兩兩相等分三種情況」討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。
例7、如圖，直線mn與x軸，y軸分別相交於a，c兩點，分別過a，c兩點作x軸，y軸的垂線相交於b點，且oa，oc(oa＞oc)的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數根．
(1)求c點座標； (2)求直線mn的解析式；
(3)在直線mn上存在點p，使以點p，b，c三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出p點的座標．
解：(1)解方程x*2﹣14x+48=0得x1=6，x2=8．∵oa，oc(oa＞oc)的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數根，∴oc=6，oa=8． ∴c(0，6)；
(2)設直線mn的解析式是y=kx+b(k≠0)．由(1)知，oa=8，則a(8，0)．∵點a、c都在直線mn上，∴8k+b=0,b=6,，解得k=-0.75,b=6,，∴直線mn的解析式為:y=-0.75x+6；
(3)∵a(8，0)，c(0，6)，∴根據題意知b(8，6)．∵點p在直線mn y=-0.75x+6上，∴設p(a，﹣0.75a+6)當以點p，b，c三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：
①當pc=pb時，點p是線段bc的中垂線與直線mn的交點，則p1(4，3)；
②當pc=bc時，a*2+(﹣0.75a+6﹣6)*2=64，解得，a=±6.4，則p2(-6.4,10.8),，p3(6.4,1.2)；
③當pb=bc時，(a﹣8)*2+(﹣0.75a+6﹣6)*2=64，解得，a=256/25，則﹣0.75a+6=﹣42/25，∴p4(256/25，﹣42/25)．
綜上所述，符合條件的點p有：(4，3)，(-6.4,10.8),，p3(6.4,1.2)，p4(256/25，﹣42/25)．
數學反思：
想學好數學，最需要的不是多聽多練，而是多思考，特別需要多反思、多歸納與總結！
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