線段樹常用案例2 矩形面積並

來看一道題目：atlantis

這道題的題意是給定若干個平行於座標軸的矩形，求出這若干個矩形的面積之和，如果有重合的部分，只算一次。

首先考慮暴力的演算法，即遍歷每個矩形，用乙個vis陣列記錄每個點的訪問狀態，最後可以統計出總的面積，這種方法在資料小且邊長為整數的時候適用。

這類問題應該引入掃瞄線來做，下面來講講掃瞄線的概念。

首先得定義掃瞄線，掃瞄線就是一條設想的線，它可以是從水平方向上下掃瞄，也可以從豎直方向左右掃瞄，對所有的矩形進行遍歷，計算面積，兩個方向的效果都是一樣的，本文下面所講都是前者的掃瞄方法。

如下圖1.1所示，數字1所標識的是兩個矩形，數字2所標識的是經過掃瞄線的掃瞄，將所有的矩形分成若干個部分來分別計算。虛線就代表掃瞄線，藍色箭頭方向表示掃瞄的方向，我們可以發現，矩形被分割成幾個部分，是取決於矩形的上下邊的，每遇到一條上邊或者下邊，就分割出了乙個部分。

明白了掃瞄線的基本概念之後，我們再來討論，再將所有矩形劃分成若干個部分後，到底應該如何計算每個部分的面積。

顯然如果我們將掃瞄線以從下向上的方式來進行掃瞄(如上圖)，那麼我們需要記錄每條水平的邊，這樣以掃瞄線的視角來掃瞄每條水平邊的時候，不難想到，如果我們記錄了每條水平邊的長度和豎直方向的高之後，我們可以很容易的計算每個部分的高了。

如上圖1.2所示，如果我們記錄了紅色部分的下邊h= 10，上邊 h= 20，那麼我們將掃瞄線從1掃瞄到2的時候，顯然紅色部分的高可以由兩者之差輕易取得。

現在關鍵在於掃瞄每個部分之後，我們應該如何求出該部分的長度，這裡就用線段樹來維護每個部分的長度，下面講講如何實現。

為了實現每次都能動態的得到每個部分的長度，我們需要將每個矩形的下邊記為1，上邊記為-1。因為我們實際上掃瞄到乙個矩形的下邊的時候，我們已經計算了這個部分的面積，所以再次掃瞄到這個矩形的上邊的時候，我們只需要撤銷這個部分的長度即可。

此外，我們還得注意，由於矩形的長度可以很大，而且可以為浮點數，因此我們需要離散化長度的資料，這樣才能更便於線段樹的構造。

所謂的離散化，就是將一些資料做一下對映（個人理解），使之變得易於處理。

如下圖1.3所示，我們可以看到矩形的長度有浮點數，所以我們可以將座標10對映為下標1，座標15對映為下標2，座標20對映為下標3，座標25.5對映為下標4，然後將所有座標記錄在乙個陣列中，這樣我們可以只用下標構造線段樹，需要用到實際的值的時候，用下標在陣列中查詢即可。

}sort(x+1, x+m+1); // 橫座標排序

sort(s+1, s+m+1, cmp); // 上下邊排序 1表示下邊

int k = unique(x+1, x+m+1) - x; // 返回不同元素的後乙個位址值

build(1, k-1, 1);

for(int i = 1; i < m; i++)

printf("test case #%d\ntotal explored area: %.2f\n\n", count++, ans);

} return 0;

}