若∀x(x∈b → x≤y)，則y為b的上界
若∀x(x∈b → y≤x)，則y為b的下界
令c=，則c中最小元就是b上確界
令c=，則c中最小元就是b上確界
［理解］
最大元:∀x(x∈b → x≤y)
由定義知道，x必須是b中的任何的乙個元素，也同時y必須和x有關係，也就是說y必須和b內的任何乙個元素有關係，如果都有x≤y，那麼說明y是在排在最後的。
上面的題目第乙個b中，關鍵是(2和3)還有(24和36)之間沒有關係，而12，6又不是最大元最小元，所以沒有最大元和最小元。
注意！哈斯圖中沒有相連的兩個元素不一定就沒有關係！
根據哈斯圖的定義，只有覆蓋的才相連。
所以上面那一幅圖中，2和6，12，24，36是有關係的，3也和他們(除了2)有關係，因為2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根據偏序的傳遞性，2和6，12，24，36都有關係，而且都在他們前面，同理3也是和他們有關，同理6除了和2，3，12有關，也和24，36有關。也就是說除了2和3以及24和36兩組沒有任何關係，其他都有關。
必須和任何元素有關係，才能突出「最」。
同理，最小元也是。
極大元: ∀x(x∈b ∧ y≤x → y=x)
由定義知道，x∈b ∧ y≤x這是極大元的兩個條件，也就是說x必須屬於b，而且y和x必須有關係(這裡說明了並不需要和任何元素都有關係，和特定元素有關係即可，因為如果沒有關係，那麼就是前假後必真，也屬於極大元)，如果y≤x，那麼就是極大元，為什麼？
因為如果y≤x，則y=x的話，說明如果y≠x的時候，y不可能小於x，只能大於x，故為極大元。也就是說，如果y是極大元，那麼和y有關的x，x必須小於他。
比如上面題目第乙個b中，有
2≤6，3≤6，6≤12，12≤24，12≤36，那麼2和6有關係，3也和6有關係，而且都是小於6，.若x∈b ∧ y≤x 中，y≤x條件不成立，所以為真。但是和6有關的還有12，6≤12，而又有12≤24，12≤36，再往上就沒有了，沒有再比24，36大的了，所以24，36為極大元
同理，極大元也是
上界 若∀x(x∈b → x≤y)，則y為b的上界
下界 若∀x(x∈b → y≤x)，則y為b的下界
最大元和上界的最大區別就是：
最大元中是偏序集< a，≤ >，b⊆a，y∈b
上界中是偏序集< a，≤ >，b⊆a，y∈a
也就是說，最大元是在b中選擇然後再在b中看是否排在最後，而上界是在a中選擇看是否在b中排在最後。而且兩個都需要所選的元素和b集合中的元素都有關係。
上界和最大元的定義一樣，就是y屬於的集合不一樣而已。
題目中，a=，b = ，從a中選擇乙個元素，看是否和b中的任何乙個元素相比，都排在最後。
選擇2，因為2和3沒有關係，所以並不滿足和b中任何元素都有關係，同理選擇3也是。選擇6，6和b中全部元素都有關係，但是不滿足都有x≤y，因為有2<6,3<6,6<12等等。而選擇12的話，12也和全部元素有關係，但是也不滿足x≤y，因為有2<12,3<12,6<12,12<24等等。而選擇24的話，24和36沒有關係，所以不滿足。所以沒有上界，自然也就沒有上確界。
a =，b = ，從a中選擇乙個元素。
選擇２，２和 b中元素６、１２都有關係，且都是２≤６，２≤５，滿足下界條件ｙ≤ｘ。選擇３也同理。選擇６，６和６、１２也有關係，有６≤６，但是也有６≤１２，滿足下界，大師不滿足下界的ｘ≤ｙ，所以６不是上界而是下界，選擇其他的同理。
上確界：令c=，則c中最小元就是b上確界
下確界：令c=，則c中最小元就是b上確界
上確界和下確界關鍵是在上界集合和下界集合中選擇最小元和最大元。
比如題目中的第二行，a =，b = ，上界＝｛１２，２４，３６｝，下界＝｛２，３，６｝，在上界中選擇最小元，根據最小元定義即所選必須和集合任何乙個元素有關係且排在最前，１２和２４，３６有關係並且都有１２≤２４、３６，所以１２是上確界。在下界中選擇最大元，根據最大元定義，６符合。
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