最長公共上公升子串行 LCIS

剛開始看這個問題的時候，第一反應是先求出lcs再求出lcs的lis，事實上這是有問題的，我們並不能保證這麼求出的lcis是最長的,比如下面這個例子

example

a:7 1 5 6 4 2 7

b:7 1 5 4 6 7 2

按照遞迴的取「最長公共子串行」,取出：

7 1 5 6 2

此序列的「最長上公升子串行」為：

1 5 6 (len=3)

但原序列的「最長公共上公升子串行」為：

1 5 6 7 (len=4)

設第乙個串為a，第二個串為b

首先確定dp狀態f[i, j],表示前a串前i個字元和b串前j個字元且以b[j]為結尾的lcis狀態方程：

對於當處於(a[i], b[j]) 狀態時 ,由於dp狀態就決定了，b[j]是一定作為這個狀態下lics的結尾的，所以對於a[i]，就有兩種情況，將其納入lcis或者不納入，首先先說不講a[i]納入lcis的情況

（1）若是 a[i] != b[j] ，顯然是一定不能講a[i]與b[j]進行配對的，那麼問題就縮小成了前a的前i - 1個字元與b的前j個字元且以b[j]結尾的lcis，即f[i - 1, j]也就是說，i之前的以b[j]結尾的序列自然沒有改變，仍然是長度仍然是f[i−1][j]; 若是a[i] == b[i] 如果不想要a[i]與b[j]進行配對，是不是也會得到上面的結果，故當

不講a[i]與b[j]配對(或無法配對)時，f[i, j] = f[i - 1, j]

（2）當a[i] == b[j]且它們進行配對時，就要在a串前i - 1個字元和b的前j - 1個字元中找到乙個最長的序列，設這個序列以t結尾且b[t] < b[j]，是不是就等價於

f[i, j] = max(f[i - 1, t]) + 1 (t > 0 && t < j && b[t] < b[j])

這樣就把這個問題可以轉化為最優子結構的問題，且得到狀態轉移方程如下

f[i - 1, j]    (a[i] != b[j])
f[i, j] = 
max(f[i - 1, t]) + 1   (t > 0 && t < j && b[t] < b[j]) (a[i] == b[j])

講上述思路轉化為**

for (int i = 1; i <= n; i ++ )}}

上面**的時間複雜度為o(n 3)，是很不理想的，可以對其進行等價轉化為o(n 2)的優化

觀察第三層迴圈，可以發現每次迴圈求得的maxv是滿足a[i] > b[k]的f[i - 1][k] + 1的字首最大值。，而且是在a[i] == b[j]的時候成立，且可以發現，在每一次進行第二層迴圈時，a[i]是不變的，這也就可以推出，與a[i]進行配對的b[j]的值也是暫時不變的，那麼把b[j]等價轉化為a[i],並將maxv提至第一層迴圈內，在每一次比較a[i]和b[j]時，一起講maxv處理出來，這樣就可以將其優化為如下的o(n 2)的**

for (int i = 1; i <= n; i++) 
}

這樣其實已經夠了，但是追求優化的話，還可以進行空間的優化，不難發現，每一次都止利用了上一層的結果，那麼可以採用滾動陣列的方法進行空間優化

for (int i = 1; i <= n; i++) 
}

#include using namespace std;
const int maxn = 3e3 + 5;
int f[maxn], a[maxn], b[maxn];
int n, ans;
int main()
}cout << ans << endl;
return 0;
}

最長公共上公升子串行 LCIS

LCIS 最長公共上公升子串行

LCIS （最長公共上公升子串行）

最長公共上公升子串行（LCIS）

最長公共上公升子串行 LCIS

LCIS 最長公共上公升子串行

LCIS （最長公共上公升子串行）

最長公共上公升子串行（LCIS）

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