訊號分析習題
三角波脈衝訊號如圖1-1所示，其函式及頻譜表示式為
求：當時，求的表示式。
解：函式圖形見圖1-5所示。
圖1-5
一時間函式f(t)及其頻譜函式f(ω)如圖1-2所示已知函式，示意畫出x(t)和x(ω)的函式圖形。當時，x(ω)的圖形會出現什麼情況？(為f(t)中的最高頻率分量的角頻率)
解：見圖1-6所示。圖(a)為調幅訊號波形圖，圖(b)為調幅訊號頻譜圖。當 時，兩邊圖形將在中間位置處發生混疊，導致失真。
圖1-3所示訊號a(t)及其頻譜a(f)。試求函式的傅氏變換f(f)並畫出其圖形。
解：由於
並且所以
f(f)的頻譜圖見圖1-7所示：
4.求圖1-4所示三角波調幅訊號的頻譜。
解：圖1-8所示調幅波是三角波與載波 的乘積。兩個函式在時域中的乘積，對應其在頻域中的卷積，由於三角波頻譜為：
余弦訊號頻譜為
卷積為例1.判斷下列每個訊號是否是週期的，如果是週期的，確定其最小週期。
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)是週期訊號，；(2)是週期訊號，；
(3)是非週期訊號，因為週期函式是定義在區間上的，而是單邊余弦訊號，即t>0時為余弦函式，t<0無定義。屬非週期訊號；
(4)是非週期訊號，因為兩分量的頻率比為，非有理數，兩分量找不到共同的重複週期。但是該類訊號仍具有離散頻譜的特點(在頻域中，該訊號在和處分別有兩條僕線)故稱為準週期訊號。
例2.粗略繪出下列各函式的波形(注意階躍訊號特性)
(1) (2) (3)
解：(1)是由階躍訊號經反折得，然後延時得，其圖形如下(a)所示。
(2)因為。其波形如下圖(b)所示。(這裡應注意)
(3)是兩個階躍函式的疊加，在時相互抵消，結果只剩下了乙個窗函式。見下圖(c)所示。
例3. 粗略繪出下列各函式的波形(注意它們的區別)
(1) ；(2)(3)
解：(1)具有延時的正弦函式與單位階躍函式的乘積。其波形如下圖(a)所示。
(2)正弦函式與具有延時的單位階躍函式的乘積。其波形如下圖(b)所示。
(3)具有延時的正弦訊號與延時相同時間的階躍訊號的乘積。其波形如下圖(c)所示。
例4.從示波器光屏中測得正弦波圖形的「起點」座標為(0，-1)，振幅為2，週期為4π，求該正弦波的表示式。
解：已知幅值x=2，頻率，而在t=0時，x=-1，則將上述引數代入一般表示式 得；
所以例5.設有一組合復雜訊號，由頻率分別為724hz，44 hz，500 hz，600 hz的同相正弦波疊加而成，求該訊號的週期。
解：合成訊號的頻率是各組成訊號頻率的最大公約數則：
而所以該訊號的週期為0.25s。
例6．利用函式的抽樣性質，求下列表示式的函式值：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：函式是一類應用廣泛的重要函式。在卷積運算、傅利葉變換及測試系統分析中，利用它可以簡化許多重要結論的匯出。本例題的目的在於熟悉並正確應用函式的性質。
(1)由於則
(2)這裡應注意：
(3)(4)
(5)這裡應注意訊號的含義，由於表示t=0時有一脈衝，而在時為零。所以就表示當t=±2時各有一脈衝，即。
(6)例7.已知一連續時間訊號x(t)如下圖(a)所示，試概括的畫出訊號的波形圖。
解：是x(t)經反折，尺度變換並延時後的結果。不過三種訊號運算的次序可以任意編排，因此該類題目有多種解法。以下介紹其中的兩種求解過程。
方法一 訊號x(t)經反折→尺度變換→延時
反折：將x(t)反折後得x(-t)，其波形如圖(b)所示。
尺度變換：將x(-t)的波形進行時域擴充套件的。其 波形如圖(c)所示。
延時：將中的時間t延時6，得其波形如圖(d)所示。
方法二 訊號x(t)經尺度變換→反折→延時。
尺度變換：將x(t)在時域中擴充套件，得。其波形如圖(e)所示。
反折：將反折，得，其波形如圖(f)所示。
延時：將中的時間t延時6，即將原波形向右平移6，得。同樣可得變換後的訊號。其波形如圖(g)所示。
例8.已知和的波形圖如下圖(a),(b)所示，試計算與的卷積積分。
解：(1)反折：將與的自變數t用τ替換。然後將函式 以縱座標為軸線進行反折，得到與對稱的函式 。見圖(c)所示。
(2)平移：將函式 沿τ軸正方向平移時間t，得函式 。(注意，這裡的t是參變數)，見圖(d)所示。
(3)相乘並取積分：將 連續地沿τ軸平移。對於不同的t的取值範圍，確定積分上、下限，並分段計算積分結果。
以下進行分段計算：
(a)當時， 的位置如圖(e)所示。這時與沒有重合部分。所以
(b)時，的位置如圖(f)所示。這時與 的圖形重疊區間為至t。把它作為卷積積分的上、下限，得：
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