說明，如下用下劃線表示向量
假設超平面公式為wx + b = 0，則向量w為超平面的法向量，b為截距，幾何推倒如下：
設x1為超平面上一點，b'為座標原點在超平面上沿著法向量方向的投影，那麼向量(x1 - b')表示為向量x1b'。
又因為法向量和超平面垂直，所以位於超平面上的任意兩點構成的向量和法向量點乘都為0，所以：
x1b' dot w = 0，即：
(x1 - b') dot w = 0，即：
x1 dot w - b' dot w = 0
假設w為單位法向量，那麼b'和w同向，即：
wx1 + b = 0，其中b = -b' dot w。
假設點x2為超平面外的一點，那麼x2到超平面的垂直投影距離公式為 (|wx2 + b|)/|w|，幾何推導如下：
根據上述結論，超平面公式為：wx1 + b = 0，其中b = -b' dot w，假設w為單位法向量，那麼有：wx2 + b = wx2 - wb'
假設x2'表示點x2到法向量上的垂直投影點，那麼wx2 = |x2'||w| = |x2'|；
那麼wx2 - wb' = w(x2 - b')，那麼(x2 - b')表示為點x2到超平面的投影向量，假設x2'表示點x2到超平面的垂直投影點，那麼
x2 -b' = x2'x2，所以|wx2 + b| = |w||x2'x2|， (|wx2 + b|)/|w| = |x2'x2|，即點x2到超平面的垂直距離。
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