1、單輸出多層感知機
（單輸出多層感知機）
圖中各變數滿足公式：
假如現在有乙個樣本[(x
1，x2)，t]，用該樣本訓練網路時，網路優化的目標為lossfun最小。lossfun是乙個關於變數w和v多元函式。網路的訓練又變成多元函式求極值的問題。
求v1的梯度：
同理可得v
i的梯度：
求w11的梯度：
同理，可得w
ij的梯度：
通過上述方法算得單輸出多層感知機的各連線權重w和v的梯度，只要按照w和v的梯度下降方向更新網路就能完成網路訓練。
2、多輸出多層感知機
在前面介紹的神經網路輸出節點都是乙個，如果遇到多分類問題，我們便需要多輸出的神經網路。下圖為乙個多輸出多層感知機。
（多輸出多層感知機）
在上圖的網路中，各變數滿足公式：
通過數學求導，得到lossfun對v
jk的梯度：
求導得到lossfun對w
ij的梯度：
在求出權重梯度之後，只要按照梯度下降的方向更新連線權重就可以完成網路的訓練。
我們總結出：對於末層神經元，輸出錯誤定義為：
對於非末層神經元，輸出錯誤如err(y)由與其相連的後層神經元的輸入錯誤err(z)加權求和得到，如下公式所示：
乙個神經元的輸入錯誤err(y)與輸出錯誤err(y)滿足公式：
一條連線權重的更新量為該條連線前層神經元的輸出乘以後層神經元的輸入錯誤訊號，如下公式所示。
多層感知機
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