分式的化簡與求值
分式的有關概念和性質與分數相類似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等於零時才有意義;也像分數一樣,分式的分子與分母都乘以(或除以)同乙個不等於零的整式,分式的值不變,這一性質是分式運算中通分和約分的理論根據。
在分式運算中,主要是通過約分和通分來化簡分式,從而對分式進行求值。除此之外,還要根據分式的具體特徵靈活變形,以使問題得到迅速準確的解答。本講主要介紹分式的化簡與求值。
例1 化簡分式:
分析 直接通分計算較繁,先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式,再化簡將簡便得多。
=[(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]
說明 本題的關鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式。
例2 求分式
當a=2時的值。
分析與解 先化簡再求值。直接通分較複雜,注意到平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b),
可將分式分步通分,每一步只通分左邊兩項。
例3 若abc=1,求
分析 本題可將分式通分後,再進行化簡求值,但較複雜。下面介紹幾種簡單的解法。
解法1 因為abc=1,所以a,b,c都不為零。
解法2 因為abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0。
例4 化簡分式:
分析與解 三個分式一齊通分運算量大,可先將每個分式的分母分解因式,然後再化簡。
說明互消掉的一對相反數,這種化簡的方法叫"拆項相消"法,它是分式化簡中常用的技巧。
例5 化簡計算(式中a,b,c兩兩不相等):
似的,對於這個分式,顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c),而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法。
解說明 本例也是採取"拆項相消"法,所不同的是利用
例6 已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求
分析 本題字母多,分式複雜。若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那麼題目只與x-a,y-a,z-a有關,為簡化計算,可用換元法求解。
解 令x-a=u,y-a=v,z-a=w,則分式變為
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0。
由於x,y,z不全相等,所以u,v,w不全為零,所以u2+v2+w2≠0,從而有
說明 從本例中可以看出,換元法可以減少字母個數,使運算過程簡化。
例7 化簡分式:
適當變形,化簡分式後再計算求值。
(x-4)2=3,即x2-8x+13=0。
原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
=10,
原式分母=(x2-8x+13)+2=2,
說明 本例的解法採用的是整體代入的方法,這是代入消元法的一種特殊型別,應用得當會使問題的求解過程大大簡化。
解法1 利用比例的性質解決分式問題。
(1)若a+b+c≠0,由等比定理有
所以a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,
於是有(2)若a+b+c=0,則
a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,
於是有說明 比例有一系列重要的性質,在解決分式問題時,靈活巧妙地使用,便於問題的求解。
解法2 設引數法。令
則a+b=(k+1)c,①
a+c=(k+1)b,②
b+c=(k+1)a。③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),
所以 (a+b+c)(k-1)=0,
故有k=1或 a+b+c=0。
當k=1時,
當a+b+c=0時,
說明 引進乙個引數k表示以連比形式出現的已知條件,可使已知條件便於使用。
練習四1。化簡分式:
2。計算:
3。已知:
(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2
=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,
的值。全部
奇怪的分式
上小學的時候，小明經常自己發明新演算法。一次，老師出的題目是 1 4 乘以 8 5 小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是 18 45 參見圖1.png 老師剛想批評他，轉念一想，這個答案湊巧也對啊，真是見鬼！對於分子 分母都是 1 9 中的一位數的情況，還有哪些算式可以這樣計算呢？請寫出...
奇怪的分式
奇怪的分式 上小學的時候，小明經常自己發明新演算法。一次，老師出的題目是 1 4 乘以 8 5 小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是 18 45 參見圖1.png 老師剛想批評他，轉念一想，這個答案湊巧也對啊，真是見鬼！對於分子 分母都是 1 9 中的一位數的情況，還有哪些算式可以這樣計...
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