上期講了區位基尼係數，這期講講泰爾指數。
泰爾指數的原理同基尼係數，都是在測度一組資料分布的差異性。但是其有著良好的可分解性質，因此當需要考察產業空間集中度在不同區域層面的差異**時，比較常用。
一、指標計算與分解
根據combes, mayer, &
thisse (2008，263~265)，泰爾指數的基本計算公式如下：
上式中，r為地區數目，s為產業部門(sector)；為r地區s產業在全部產業中所佔的份額，為地區r的經濟總量在所有地區經濟總量中所佔的份額。可設定所有地區經濟總量的份額均為1/r，則算出的指標為絕對指標。
泰爾指數可分解為組間差異和組內差異。比如說在測度我國區域經濟發展的不均衡性時，就可將之分解為地帶間的不均衡性和地帶內的不均衡性。先在省級層面上計算各省份人均gdp的泰爾指數，應該可以發現，省級差異還是比較大的。接下來將大陸31個省份分成東、中、西部三組地帶，那麼，可以計算三組間人均gdp的泰爾指數，此即為組間泰爾指數；還可以就每一組分別計算組內省份間人均gdp的泰爾指數，利用各組的份額將它們加權平均，得到組內泰爾指數。結果或許可以表明，各省份間人均gdp的差異性，主要來自東、中、西部三地帶間的差異(即組間差異)，而在每個地帶內部，省份間的差異性並不大。產業空間集中度的分解類同此理。
組間泰爾指數的計算公式如下。計算時，將組內單位指標數值彙總到組層面，將每組看成觀測單元，在組層面上利用泰爾指數基本計算公式即可算出。
組內泰爾指數的計算公式如下。計算時，實際上是以某組為樣本群體，利用泰爾指數基本計算公式計算該組單元數值的泰爾指數，再將各組的泰爾指數加權平均得出，權重為每組單元彙總指標值的佔所有單元彙總指標值的份額。
。這一分解為一層分解。如有多個層級的分組，如先地帶分組，地帶內的省裡面又有市級分組，市級分組裡面又有縣級分組，…，形成乙個巢狀多層級分組體系，則泰爾指數的分解可依據鏈式法則遞進分解。如下圖所示(akita, 2003)。第一層次的分解在「國家(country)→ 地帶(region，分組變數)→ 省(province，觀測單元)」之間展開。首先是不分組，計算省級層面的總泰爾指數，然後計算地帶間的組間泰爾指數，再次計算region1組內province1、province2、province3的泰爾指數，其他各組依此計算，這樣會得到各組的泰爾指數，再加權平均為總的組內泰爾指數。如此，即實現第一層次的分解。
如果province下面還分地區(district)，則可將每組看成乙個樣本群體繼續分解。如以上計算出的region1的組內泰爾指數，在將region1看成乙個樣本群體後，可在「region1 → province1：province3 → district1：district10」這個體系內，利用以上第一層次的分解原理繼續分解。其他region組照此進行。然後依據加權平均法則，把各組的province層面組間泰爾指數進行加權平均(權重為region的份額)，即得到province組間泰爾指數。總的泰爾指數最後分解為：region組間泰爾指數+province組間泰爾指數+province內部以district為單元計算出的組內泰爾指數(將各province組的組內泰爾指數加權平均得之)。
如district下面還要細分，則按照以上原理一環套一環遞進分解完畢即可。
二、r語言函式實現
根據以上公式和分解原理，編寫計算並分解泰爾指數的函式geo.theil()，其引數設定說明如下：
geo.theil(x, y = null, group = null)
其中，x為各區域產業經濟活動規模數值向量；
y為各區域總體經濟活動規模數值向量；
x、y向量不能含缺失值，不能有負值，y向量和大於0；
y預設為null，即不作設定，此時簡化為絕對指標；
group為分組指示向量。如分組在兩層以上，則group為兩列以上的矩陣或資料框，層級由高到低排。
讓我們用資料測試一下：
** 1
# 載入geo.theil函式
> source("geo_theil.r")
# **測試，geo.theil和ineq包的theil結果相同
> a
> geo.theil(a)
[1] 0.1196876
> ineq::theil(a)
[1] 0.1196876
> reat::theil(a)
[1] 0.1411139
接下來用實際資料來試一下。資料「manufacture2007.csv」包含了中國大陸省、市、縣級2023年30個製造業的規模以上工業增加值資料，其前三列分別為省、市、縣，最後一列為各區域單元全部製造業的工業增加值總和，可作為參照分布，其餘列均為各個製造業工業增加值。讀入資料後，用geo.theil()函式算出各產業的泰爾指數並在省、市兩級層面分解，匯出結果檔案為「theil_results.csv」，**如下：
** 2
# 設定**和資料所在的工作資料夾，這裡假設為"d:\\theil"，注意位址分隔符用"\\"而不是"\"
> setwd("d:\\theil")
# 載入geo.theil函式
> source("geo_theil.r")
# 讀入資料
> mydata
read.csv("manufacture2007.csv")
# 看兩位數**為13的製造業在省級層面的分解
> t13.1
x13, y = total, group = 省))
> t13.1
total group1 within
1.0547998 0.2547051 0.8000947
# 看兩位數**為13的製造業在省級和市級層面的分解
> t13.2
x13, y = total, group = cbind(省, 市)))
> t13.2
total group1 group2 within
1.0547998 0.2547051 0.3106503 0.4894444
# 批量計算所有製造業在省、市層面的分解
> theil.results
> theil.results
theil.results)
> theil.results
total group1 group2 within
x13 1.0547998 0.25470508 0.3106503 0.4894444
x14 1.1200430 0.18545063 0.2821592 0.6503204
x42 1.3465432 0.27674943 0.5073413 0.7699828
x43 3.0207135 0.50584180 0.8718032 1.3451203
# 寫出結果檔案至工作資料夾
> write.csv(theil.results,
"theil_results.csv")
[1] akita, t. 2003.
decomposing regional income inequality in china and indonesia using two-stage
nested theil decomposition method. annals of regional science, 37(1): 55-77.
[2] combes, p.-p., mayer,
t., & thisse, j.-f. 2008. economic geography: the integration of regions
and nations: princeton university press..
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