函式沿某一方向的變化率 多元函式知識點 1

2021-10-16 08:10:32 字數 657 閱讀 6138

方向導數,偏導數,全微分三者之間的聯絡與區別

方向導數實質是函式

而偏導數是函式

在某一點處沿

軸或者沿軸

方向的方向導數,也可以說,偏導數是方向導數的乙個特例。

全微分則要複雜一些,以二元函式為例,設二元函式

在點 的某鄰域 內有定義,如果對於

函式 在

處改變量 可以表示為

則稱函式

在點 處可微,並稱

為函式

在該點處的全微分,由此可見,若函式要有全微分表示式,其在該點必須可微。

既然提到可微,不妨繼續研究一些可微與前面三個之間的關係。

首先,我們需要了解可微的必要條件

設函式 在點

處可微,則有

注意,這是可微的必要條件,所以,即使在該點函式的各個方向導數均存在,函式也不一定可微,對此我們進一步提出可微的充分條件

還是以二元函式為例子,若函式

的所有偏導數均在點

的某個鄰域存在,且所有偏導數均在

x處連續,則函式在該點可微。還是應當注意,這只是可微的充分條件而不是充要條件,可微函式的偏導數不一定連續。

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