在電力傳輸和消費電子等應用中，對溫度非線性材料的電磁熱進行建模可能至關重要，其中非線性是指材料的電導率和熱導率隨溫度而變化。在對這些非線性進行建模時，由於非線性材料屬性、邊界條件和幾何結構的組合，即使是經驗豐富的分析人員有時也會得到非常意想不到的結果。讓我們用乙個非常簡單的例子來找出其中的原因。
我們可能認為這條曲線可以用來**更大範圍的操作條件。假設我們想要將器件驅動至其失效溫度700 k(427°c)，材料在此溫度會熔化或蒸發。根據這條曲線，經過簡單的數**算表明最大電壓為 20 v，最大電流為 20 a，但這完全是錯誤的！此時，你可能已經準備好指出我們犯的乙個簡單錯誤：在溫度變化的情況下，電阻不是恆定的。對於大多數金屬，電導率隨著溫度的公升高而下降，由於電阻率與電導率相反，器件電阻率上公升。因此，我們引入電阻率與溫度的關係：
這被稱為線性化電阻率模型，其中，ρ0 是參考溫度
下的參考電阻率，αe 是電阻率的溫度係數。
我們選擇 ρ0 = 1 ω，t^e_0 = 300 k，αe = 1/200 k。現在，當器件溫度為 300 k 時，電阻為 1 ω，當器件溫度比設定溫度高 200 k 時，電阻為 2 ω。集總溫度隨電壓和電流變化的方程現在變成：
這些方程稍微複雜一點(第乙個是用 t 表示的二次方程)，但仍然可以手工求解。溫度隨電壓和電流增加而變化的圖如下所示。
對於電壓驅動的問題，隨著溫度公升高，電阻也會公升高。由於電阻出現在溫度表示式的分母中，更高的電阻會降低溫度，我們看到溫度將低於 恆定電阻率情況下的溫度。如果我們用恆定電流驅動器件，分子中會出現與溫度相關的電阻。當我們增加電流時，電阻熱將高於 線性材料。
此時，我們可能會嘗試計算該器件能夠承受的最大電壓或電流，但你可能已經意識到我們已經犯下的第二個錯誤：我們還需要考慮熱阻的溫度依存性。對於金屬，我們可以合理地假設電導率和熱導率呈現相同的趨勢。因此，我們使用乙個類似於我們之前使用的非線性表示式：
現在，我們的電壓驅動和電流驅動溫度方程變為：
和 儘管與以前略有不同，但這些非線性方程現在相當難以求解。**軟體開始變得更具吸引力！求解出這些方程後(我們設定
r0 = 1 k/w、
αt= 1/400 k、
= 300 k)，
我們可以繪製器件溫度，如下所示。
注意，對於電流驅動的情況，溫度漸進地上公升。由於電阻和熱阻都隨著溫度的公升高而增加，因此器件溫度隨著電流的增加而急劇公升高。隨著溫度上公升到無窮大，這個問題變得無法求解。實際上這完全是預料之中的; 事實上，這就是你的汽車保險絲的基本工作原理。現在，如果我們在 comsol multiphysics 中求解這個問題，我們也可以將它作為乙個瞬態模型(包含由於器件密度和比熱引起的熱質量)來求解，並**器件溫度公升至其失效點所需的時間。
幸好電壓驅動的情況要簡單一些。這裡，我們也看到了一種可**的現象：與我們只考慮與溫度相關的電導率時相比，熱阻率的上公升會使溫度公升高。現在，有趣的一點是溫度仍低於恆定電阻率的情況。這有時也會讓人困惑，但請記住，其中乙個非線性因素會降低 溫度，另乙個會公升高 溫度。一般來說，對於更複雜的模型(比如你將在 comsol multiphysics 中構建的模型)，你不知道哪個非線性因素將佔主導地位。
我們在這裡還會犯什麼錯誤？我們使用了熱阻率的正 溫度係數。對於大多數金屬來說，這當然是正確的，但事實證明，對一些絕緣體來說，情況正好相反，玻璃就是乙個常見的例子。通常，器件總熱阻主要是絕緣體的函式，而不是導電域的函式。此外，器件的熱阻應包括冷卻對周圍環境的影響。因此，自由對流(隨溫差增加)和輻射(對溫差具有四階依賴性)的影響也可以集中到這個單一的熱阻中。不過，現在，我們保持問題(相對)簡單，只需切換熱電阻率溫度係數 αt = -1/400 k 的符號，並直接比較驅動電壓高達 100 v 與驅動電流高達 100 a 的電壓驅動和電流驅動情況。
我們現在看到一些截然不同的結果。可以看出，對於電壓和電流驅動的情況，溫度在低負載下大致呈二次方公升高趨勢，但在較高負載下，由於熱阻降低，溫度公升高開始趨於平緩。斜率雖然總是正的，但幅度減小了。電流驅動的情況開始漸進地接近 t = 700 k，但電壓驅動的情況一直顯著低於失效溫度。
這是乙個重要的結果，也凸顯了另乙個常見錯誤。這裡我們用於電阻和熱阻的非線性材料模型是近似值，如果接近 700 k，這些近似值就開始失效。如果我們預期在這種情況下執行，我們應該回到文獻中，找到更複雜的材料模型。雖然我們現有的非線性材料模型確實解決了問題，但我們總是需要檢查它們在計算的工作溫度下是否仍然有效。當然，如果我們不接近這些操作條件，我們可以使用線性化電阻率模型(comsol multiphysics 中的內建材料模型之一)。這樣我們的模型將是有效的。
我們現在可以從所有這些資料中看出，溫度與驅動電壓或電流的關係非常複雜。當考慮非線性材料時，溫度可能高於或低於使用恆定屬性時的溫度，溫度響應的斜率可以僅根據操作條件從非常陡峭變為非常平緩。
這些結果讓你徹底困惑了嗎？如果我們回去改變阻力表示式中的乙個係數會是什麼情況呢？某些材料的電阻率和熱阻率溫度係數為負，如果我們使用更複雜的非線性模型呢？即使是在這種簡單的集總器件情況下，你有信心說出關於預期溫度變化的資訊，還是更願意根據嚴格的計算來確認？現實世界裝置的情況如何？包含許多不同材料？不同的電導率和熱導率隨溫度變化？形狀複雜？你會僅在穩態條件下或在時域中模擬這種情況來了解溫度公升高需要多長時間嗎？也許(實際上很可能) 還會包含非線性邊界條件，例如輻射和自由對流。我們不想通過單一集總熱阻來近似，你呢？如果幾乎什麼都有！你如何進行分析？當然要使用 comsol multiphysics！
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