梁昊：4.8 函式序列的迭代演算法——反向傳播zhuanlan.zhihu.com
天底下真的有這麼好的事情，答案是利用連分數：這對於多數人而言可能是乙個相對陌生而古老的工具。為此我們需要學習一下有關連分數的兩個定理：
引入記號
記作 。
定理1
，其中序列
滿足遞迴關係
以及初值
證明
使用數學歸納法。對於
有 成立，對於
有 成立。下面假定對
成立，那麼有
對於 也成立，故命題得證。
這樣我們將乙個需要從
算到 的連分式倒了過來。
定理2有如下逆序等式成立
證明
由定理1中的遞迴關係可知
引入 ，那麼有
以及從而可得
命題得證。
這個逆序演算法相比之前的更加穩定。
這樣我們有如下計算無窮連分式
的演算法其中 ，
的設定是為了防止nan。
回到正題，將逆向迭代式
除去乙個
，引入比值
，那麼有
這樣就化作了乙個無窮連分式的計算。對連分式取截斷
。這樣，我們就可以通過上述演算法計算得到收斂的
，然後依次計算
至 ，則有
逆向迭代那塊更經典的例子是球貝塞爾函式，lentz演算法最初提出的目的也是為了計算球貝塞爾函式。但是考慮到兩類勒讓德函式的行為更具有衝擊性，我選擇了它作為例子。
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