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球諧函式預備知識球座標的拉普拉斯方程， 連帶勒讓德多項式
當球座標中的拉普拉斯方程（球座標系中的拉普拉斯方程）分離變數後， 關於極角
球諧函式為1
其中 為整數，
， ．
是歸一化係數， 使得
在單位球面上的面積分等於 12．
球諧函式可以看作是將單位球面上的每一點（或者三維空間中的每個方向）對映到乙個複數函式值．
圖 1：
的極座標曲線， 注意
是實數． 紅色代表
， 藍色代表
． 第 1 行到第 4 行分別為
到 ， 每行從左到右分別為
到 ． 圖中的右上角標明了
的單位長度． 這裡的球諧函式使用了 condon–shortley 相位（見下文）．
偏微分方程
球諧函式是偏微分方程
的解． 中括號中的算符是球座標系拉普拉斯運算元
中的角向部分（記為
）乘以
． 常見的球諧函式見 「球諧函式列表」．
歸一化係數
由球諧函式的歸一化條件，
其中 是
的歸一化係數（見式 3 ）， 代入後可得
．condon–shortley 相位
與連帶勒讓德多項式相同， 在定義球諧函式時我們也可以選擇是否包含condon–shortley 相位（物理中一般選擇包含）． 如果包含， 我們可以選擇將其包含在連帶勒讓德多項式中（如式 2 ）， 或者包含在球諧函式的定義中． 如果不包含， 該相位在兩個定義中都不出現．
正交歸一性
由勒讓德函式的正交歸一性（式 4 ）以及
的正交歸一性， 不難證明球諧函式的正交歸一性
其他性質
這裡的
是由連帶勒讓德多項式的性質而來， 而共軛由
因子而來．
旋轉變換
其中 是 wigner d 矩陣． 從量子力學的角度來說， 總角動量是與方向無關的， 只有角動量在某方向的分量有關．
中心對稱為偶數時， 球諧函式是中心對稱的（偶宇稱）， 否則是反對稱的（奇宇稱）．
可以用圖 1 驗證．積分
三個球諧函式之積的積分可以表示成兩個 cg 係數或 3j 符號相乘3
應用
見平面波的球諧展開 和電多極子展開．
1. 有些教材也將球諧函式記為
2. 式 2 是 mathematica 中的定義， 也有一種定義在前面加
， 同樣滿足歸一化條件．
3. 見 bransden 附錄 a4， 以及 wikipedia 的 3j/cg coefficients 頁面
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