我們學高等數學無窮級數裡面有乙個重要的級數叫做傅利葉級數，這個級數表述起來非常複雜，不好理解，很多人也是看到這個級數感覺摸不著頭腦，被一長串公式嚇到了，這裡將通俗講解傅利葉級數。
傅利葉級數是週期函式乙個級數，對於乙個滿足一定條件的週期為t的週期函式f(t)，可以分解為以下形式：
簡單來講，傅利葉級數就是將乙個週期函式分解為一系列正余弦函式的線性組合，看公式還是不好理解，舉個例子，下圖就是某週期函式分解出的四個正弦曲線，最上面那個頻率最小的波稱之為基波，第二條正弦曲線的頻率為基本的兩倍，第三條曲線的頻率是基波的三倍，以此類推，週期函式還可以分解成很多正弦函式，頻率倍數依次遞增，通過影象可以直**出每條曲線的振幅和相位。
那麼，為什麼要幹這麼麻煩的事呢？數學家閒著沒事搞這些複雜的東西來幹啥呢？這就要介紹一下分解在我們生活中的應用，我們在學高中物理時要經常要將力進行分解，這樣做的目的是分析物體在不同方向上的受力特徵，並且分析該力會產生什麼效果，同樣，我們的耳朵聽到的聲音就是乙個關於時間的訊號，這些聲音是由很多聲音疊加而成的，我們的大腦在接收聲音頻號後會將這個訊號分解，於是我們就會識別聲音中有哪些是人的說話聲，哪些是動物的叫聲，哪些是汽車聲音，哪些是噪音，於是我們就能得到對我們有用的資訊，電子裝置同樣可以分解訊號獲得有用的資訊，甚至可以過濾無用的資訊。總之，分解對於資訊的處理是很重要的。
既然分解的應用很重要，那麼為什麼要將週期函式分解為三角函式呢？為什麼不分解為簡單的週期函式呢？比如這樣的鋸齒波：
這裡就要討論正余弦函式的特殊性質，正余弦函式的微分和積分運算的結果以及同頻率的正余弦函式的線性運算結果仍然還是正余弦函式，週期即頻率不變，只有振幅和相位會發生變化，這叫做運算的形式不變性，而鋸齒波、方波等不具有這樣的性質，廣義來講復指數函式的運算具有形式不變性，正余弦函式是復指數函式中的一類。對於乙個已知結構的系統，如果輸入訊號是正余弦訊號，那麼輸出訊號也是正余弦訊號，並且很容易計算出來，對於線性系統來說，如果輸入訊號是週期訊號，那麼將它分解為正余弦訊號，然後分別求解這些分量的輸出訊號，最後再線性疊加，就可以得到最終的輸出訊號。比如：
既然理解了傅利葉分解的重要性，那麼傅利葉級數是如何來的呢？接下來講傅利葉級數的推導過程，如果乙個余弦函式為f(t)=cosω0t,其週期t=2π/ω0,另乙個余弦函式cos2ω0t，角頻率為2ω0，週期也是t，余弦函式cosnω0t，角頻率為nω0，週期也是t，正弦函式也具有相同的性質。根據週期函式的性質，週期相同的週期函式的線性組合也是同週期的函式，比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是週期為t=2π/ω0的週期函式，在加上乙個常數也是如此，即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是週期為t=2π/ω0的週期函式。根據這種思想，我們將所有週期相同但頻率不同的正余弦函式組合在一起，構造成乙個無窮級數：
這樣的乙個函式就是週期為t=2π/ω0的週期函式，其中，c為常數，an和bn為各頻率余弦與正弦的係數，只要改變常數和各係數就可以表示不同的週期為t的函式。既然三角函式可以組合為週期函式，那麼反過來，乙個週期已知的週期函式是否可以這樣分解呢？如果可以分解，那麼只要計算出常數和各係數就可以分解出來，那麼，計算常數和各係數就是乙個關鍵問題。
要計算常數和各係數，首先要了解一些三角函式積分特徵，如下，其中，n,m為正整數，t=2π/ω0。
將週期函式f(t)做乙個積分：
於是，我們通過這樣的乙個積分，把常數項給算出來了，接下來計算各頻率余弦的係數，構造乙個積分：
上式中，如果n=0，那麼
接下來就是計算各頻率正弦係數，構造積分：
通過這方法，我們就能計算常數和所有的係數，這樣一來，傅利葉級數的表示式就推導出來了，然而，不是所有的週期函式都可以這樣分解，必須滿足一定條件：在乙個週期內絕對可積、第一類間斷點數量有限、極值點有限、不存在第二類間斷點，正切函式就不滿足這個條件，所以雖然正切函式是週期函式，但不能分解為傅利葉級數。
也許有些人有疑問，鋸齒波可以分解為傅利葉級數，但是鋸齒波存在很多「折點」，函式影象中的「折點」是不可導的，而傅利葉級數是正余弦函式構成的，我們知道，正余弦函式在整個實數域都是可導的，那麼這是否就矛盾呢？其實要解釋這個問題不難，舉個例子，有限個有理數之和一定是有理數，如果是無限個有理數之和呢？比如：
對於傅利葉級數，同樣可以這樣理解，有限個正余弦函式的線性組合，依然是實數域可導的，但無限個正余弦函式的線性組合，就可能會存在不可導點，這是無窮級數的乙個特殊性質。
傅利葉級數的理解
三角函式的基本形式是 f x asin nx a 振幅 n 頻率 相位 x也可以用wt來表示 函式的正交 兩個函式的積的積分為0,那麼這兩個函式為正交關係 1.當n m時,cosnx與cosmx正交,sinnx與cosmx正交,sinnx與sinmx正交 2.當n m時,cosnx與cosmx不正交...
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目錄序言 引入離散週期訊號的傅利葉級數 成諧波關係的離散週期復指數序列 週期訊號的傅利葉級數表示 離散週期訊號的傅利葉級數係數及其確定過程 這篇文章的思路是按照與連續時間週期訊號的傅利葉級數一致的，看完這篇博文的基礎上，再看離散時間復指數序列的週期性質，了解了離散時間復指數序列的週期性後，就可以很簡...
用三角函式正交座標系計算三角級數（傅利葉級數）
參考 建立三角函式座標系，1，coswt,cos2wt,sinwt,sin2wt,為正交基 不同基點積 0，同基點積！1，所以是正交基，但是非標準正交基 則函式f t 可以表示為三角函式座標系下的點，其座標即為a0,an,bn。用f t 與各個基進行點積計算就可得到a0,an,bn 函式內積 點積 ...