4. 證明:當整數 n>2 時,n 與 n! 之間一定有乙個質數.
解: 首先,相鄰的兩個正整數是互質的.
這是因為 (a,a-1)=(a,1)=1,
於是有 (n!, n!-1)=1.
由於不超過 n 的正整數都是 n! 的約數,所以不超過 n 的正整數都與 n!-1 互質 (否則,n! 與n !-1不互質),
於是 n!-1 的質約數 p 一定大於 n,
即 n所以,在 n 與 n! 之間一定有乙個質數.
5. 證明質數有無窮多個.
解: 下面是歐幾里得的證法.
假設只有有限多個質數,
設為 p1,p2,…,pn.
考慮 p1p2…pn+1,
由假設,p1p2…pn+1 是合數,
它一定有乙個質約數 p.
顯然,p 不同於 p1,p2,…,pn,
這與假設的 p1,p2,…,pn 為全部質數矛盾.
6. 已知 n 為大於1的整數,且數 1!,2!,…,n! 中任意兩個數除以 n 所得的餘數不同.
證明 n 為質數.
解: 若 n 為合數,
當 n=4 時,
3! 與 2! 除以 4 所得的餘數相同,矛盾.
當 n=p²,p 為奇質數時,
n|(2p)!,
n|n!,
且 2p
當 n 不是某個質數的平方時,
可寫 n=pq,
2≤p 此時 n|q!,
n|n!,亦得矛盾.
所以,n 只能是質數.
7.設 n1 與 n2 是任意兩個大於 3 的質數.
n1=n1²-1,
n2= n2²-1.
n1 與 n2 的最大公約數至少為多少?
解: 因為 n1 是大於 3 的質數,
所以 n1 不是 3 的倍數且 n1 是奇數.
因為 n1 不是 3 的倍數,
所以 n1=3k+1
或 n1=3k+2 (k 為正整數).
當 n1=3k+1 時,
n1²-1
=(3k+1)²-1
=9k²+6k+1-1
=3(3k²+2k),
故 3| n1²-1.
當 n1=3k+2 時,
n1²-1
=(3k+2)²-1
=9k²+12k+4-1
=3(3k²+4k+1),
故 3|n1²-1.
又因為 n1 是奇數,
所以 n1=3h+1.
從而 n1²-1
=(2h+1)2-1
=4h²+4h+1-1
=4h(h+1),
又因為 h 與 h+1 是連續的整數,
所以 2| h(h+1),
8|4h(h+1)
即 8|n1²-1.
由於 3 與 8 互質,
故 24| n1²-1.
同理 24|n2²-1.
另外,取 n1=5,
則 n1²-1=24.
綜上所述,n1 與 n2 的最大公約數至少為 24.
評注 從上述例題中,我們得到兩個有用的結論:
(1) 若 n 不是 3 的倍數,則 n² 除以 3 的餘數為 1.
(2) 若 n 是奇數,則 n² 除以 8 的餘數為 1.
8. 證明:若 p 是大於 5 的質數,
則 p²-1 是 24 的倍數.
解: 關於整數的問題,我們常把它分成奇數和偶數(即按模 2 分類)來討論;
有時也把整數按模 3 分成三類:
3k, 3k+1,3k+2.
一般地,可根據問題的需要,把整數按模 n 來分類.
本題我們按模 6 來分類.把正整數按模 6 分類,可分成 6 類:
6k, 6k+1, 6k+2,
6k+3, 6k+4, 6k+5.
因 p 是大於 5 的質數,
故只能屬於 6k+1、6k+5 這兩類.
當 p=6k+1 時,
p²-1
=36k²+12k
=12k(3k+1).
因 k、3k+1 中必有乙個偶數,
此時 24| p²-1.
當 p=6k+5 時,
p²-1
=36k²+60k+24
≡12k²+12k
=12k(k+1)
≡0(mod24).
所以,p²-1 是 24 的倍數.
完
兩個連續正整數的積 正整數的性質 C6
質數與合數 24.若乙個質數的各位數碼經任意排列後仍然是質數,則稱它是乙個絕對質數 例如 2,3,5,7,11,13 31 17 71 37 73 79 97 113 131,311 199 919,991 337 373,733 都是絕對質數.求證 絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼 1 3 7 ...
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