質數與合數
24. 若乙個質數的各位數碼經任意排列後仍然是質數,則稱它是乙個絕對質數 例如:
2,3,5,7,
11,13(31),17(71),
37(73),79(97),
113(131,311),
199(919,991),
337(373,733),
都是絕對質數.
求證:絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼 1、3、7 與 9.
解: 乙個兩位以上的絕對質數不可能含有數字 0、2、4、5、6、8,否則,通過適當排列後,這個數能被 2 或者 5 整除.
設 n 是乙個同時含有數字 1、3、7、9 的絕對質數,
因為 k0=7931、
k1=1793、
k2=9137,
k3=7913、
k4=7193、
k5=9371、
k6=7139
被 7 除所得的餘數分別是
0、1、2、3、4、5、6,
所以,如下 7 個正整數
中一定有乙個能被 7 整除,這個數就不是質數,矛盾.
25. 證明:存在無窮多個正整數,它不能表示為乙個完全平方數與乙個質數之和.
解: 抓住質數不能表示為兩個大於 1 的正整數之積這個特性,引導我們到完全平方數中去尋找符合要求的數,因為此時我們可用平方差公式.
設 y 是正整數,我們尋找使 y² 不能表示為乙個完全平方數與乙個質數之和的條件.
若存在整數 x≥0 及質數 p,使得
y²=x²+p, ①
則 p=(y-x)(y+x),
從而 y-x=1,
y+x=p.
進而 p=2y-1,
因此,如果 2y-1 不是質數,
則 y² 不能表示為①的形式.
注意到,當 y=3k+2,k 為正整數時,
2y-1=6k+3 是 3 的倍數,
且大於 3,從而 2y-1 不是質數.
這表明有無窮多個滿足條件的正整數.
自然地,我們可以提出更一般的問題:是否存在無窮多個正整數,它不能表示為乙個 n 次方數與乙個質數之和呢?這裡 n 為任給的正整數.
26.設 n 為正整數,如果存在有 n 個連續的整數(包括正整數、0 及負整數)之和為質數,試求n的所有可能值.
解: 我們先考慮 n 個連續整數均為正數的情況,
顯然,n=1 是可以的:只要取任何乙個質數即可.
n=2 也可以:任何乙個奇質數都可以寫成 2 個連續整數的和
p=(p-1)/2+(p+1)/2.
假設存在某一質數
p=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+k),
其中 a 為整數,k≥2,
則2p=[a+(a+1)+(a+2)+…+(a+k)]
+[(a+k)+(a+k-1)+(a+k-2)+…+a)]
=(k+1)(2a+k),
(k+1) 與 (2a+k) 均為大於 2 的整數,與 p 為質數矛盾,所以當 n 個連續整數均為正數時,n=1 或 2.
當 n 個連續整數可以是 0 或負數時,任何乙個質數 p 都可以寫成
p=p+(p-1)+…+1+0+(-1)+…+(-p+1)
得 n=2p.
對於任何乙個奇質數 p,我們可以令
p=2t+1,
其中 t 為正整數,則 p 可以寫成
p=(t+1)+t+…+1+0+(-1)+…+(-t+1)
得 n=p.
所以,n=1 或任意質數或兩倍任意質數.
完
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