最近很多關於雜訊的討論，於是我找到之前的筆記，分享下我的學習過程。
雜訊儘管是工程中最常見的現象和問題，但其物理本質卻是極其精深的。拿最簡單的乙個電阻來說，不要接任何外加電源，雜訊始終是存在的。也就是電阻通過電流的均值是0，但是其方差或者漲落不是0，數學上=0, ≠0。
最早由kubo等人，包括nyquist 等一批物理學家建立了漲落耗散理論，才對雜訊、布朗運動等很多現象作出了精彩的解釋。後來結合量子理論，對自發輻射、卡西公尺爾力、近場熱傳導等量子現象做出解釋。
漲落耗散定理的實質，是熱平衡條件下，任何物體都會吸收電磁波譜（叢零頻到x-ray甚至更高），同時也必須輻射出電磁波，這兩個物理過程是平衡的。上述物理過程聯絡到黑體輻射理論和細緻平衡理論。所以雜訊、暗電流本質上就是吸收了電磁波的能量。雜訊對乙個通訊系統的重要性，暗電流對乙個光電子器件的重要性，是眾所周知的。
而電磁波的儲能能量一定正比於場強的平方，所以必然不是0。物體的耗散，釋放出電磁波，造成了電磁波在真空中一般的漲落；這個一般漲落的能量又被物體吸收，周而復始。且這個漲落即使在絕對0度時，都依然存在。這就是著名的漲落耗散定理。
但是推導電磁場的漲落遠遠比電流的漲落難度大很多。一般對乙個電路，漲落耗散定理可以寫成，1/2r=kb*t/(2*pi) df，右側kb*t是有限溫度下平均光子能量，2*pi 項是fourier變換的原因，df代表單位頻率。所以寬頻雜訊估計公式kb*t*b，b是頻寬。嚴格的量子表示式1/2 hbar omega+hbar omega/[exp(hbar omega/(kb*t))-1]，可以看出當hbar趨近於0，上式的經典表示式就是kb*t。而如果t=0，就是1/2 hbar omega。1/2 hbar omega是著名的零點能量，對應真空漲落。其他t不等於0，叫做熱漲落。
根據電流漲落表示式，我們可以求出單位體積單位頻率，電流密度的漲落表示式 1/2=sigma*kb*t/(2*pi)。這裡，我們假設不同空間點電流密度是不相關的，=0，當r不等於r』。而怎麼得到電磁場的漲落表示式，要依賴格林函式理論。因為電場可以用電流和格林函式卷積得到，但是這時的格林函式不是自由空間的，而是任意非均勻空間的格林函式。經過一番化簡和努力，我們可得到 的表示式。這個表示式很有趣，正比於非均勻空間並矢格林函式的需部im (g)，因此是regular的。所以不同頻率，不同空間點的電磁場漲落是不同的，正比於對應頻率、對應空間點，在非均勻電磁系統放入乙個點源後，得到的在這個點處電場的實部。
漲落耗散定理是我加入weng cho chew教授組第乙個系統學習的理論。最大的收穫是發現原來看似很簡單的雜訊，其實背後是極其複雜、精深的理論，需要深入思考。
weng cho chew,wei e. i. sha, and qi i. dai, 「green』s dyadic, spectral function, local density of states, and fluctuation dissipation theorem,」progress in electromagnetics research, vol. 166, pp. 147-165, jan. 2020.
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