華容道3x3的技巧數字華容道怎樣才能有解

數字華容道，是在4x4的格仔中，依次從左到右，從上到下放置1-15這15個數字。經過一定的隨機，必須將這15個數字復原。每個數字只能向相鄰的唯一空格移動。難度更高的，格仔和數字會更多，比如5x5。

我在開發乙個類數字華容道遊戲時，發現自己3x3的格仔，居然怎麼都解不出來。比如：一排1、2、3，二排4、5、6，三排8，7。經過網上查詢，才知道完全隨機位置的數值華容道僅有50%的概率是有解的。而我就是用的完全隨機方式去打亂次序。

網上有兩篇文章說的很好，以下是根據這兩篇文章的總結。

數字華容道必然有解的前提

首先，要弄清楚乙個概念：逆序數。逆序數，即乙個數字序列，將其中所有數字依次兩兩對比，若大數在前，小數在後，那麼這就是一對逆序數。這裡說到的逆序數，指的是數字序列中逆序數的數量。比如：上文提到的1、2、3、4、5、6、8、7，逆序數只有1個，即8和7。

另外，還有一點要提出來。一般來講，復原狀態(初始狀態)的數字華容道，會有乙個空格，一般會設定在最末行的右下角。但也可以根據實際的需求，設定在其他行。請留意，初始空格所在的行數，是決定是否有解的乙個重要因素。

數字華容道，必然有解，只存在於如下3個細分情形：

若格仔列數為奇數，則逆序數必須為偶數；

若格仔列數為偶數，且逆序數為偶數，則當前空格所在行數與初始空格所在行數的差為偶數；

若格仔列數為偶數，且逆序數為奇數，則當前空格所在行數與初始空格所在行數的差為奇數。

實際的推演涉及到我一時難以徹底理解的數學推算，我只能用淺顯的方式來理解這個問題。

為什麼？

首先，有解的前提在於：當前空格回到初始空格所在行數時，逆序數一定得是偶數！為什麼，我不清楚。

要想把空格移動到初始空格所在行，必須進行若干次上下移動和若干次左右移動。

左右移動，不會改變逆序數；上下移動，若格仔列數為奇數，則每次增減偶數個逆序數，若格仔列數為偶數，則每次增減奇數個逆序數。

也就是說：

格仔列數為奇數，怎麼移動，都不會改變原始的逆序數。因為奇數加減偶數還是奇數，偶數加減偶數還是偶數。所以，只要保證逆序數是偶數即可，不必關心空格的位置。

格仔列數為偶數，那麼進行奇數次上下移動，會改變其逆序數的奇偶性。所以，如果當前逆序數是偶數，要想有解，就要保證實際上下移動會進行偶數次，也就是說空格所在行與初始空格所在行的差為偶數。

同理，若當前逆序數是奇數，要想有解，要進行奇數次的移動，才能保證最終逆序數是偶數。

如何轉換逆序數奇偶性

具體實現應該很簡單，不多說了，就說一點。如果想更改乙個數字序列的逆序數的奇偶性，只需要調換一對逆序數的位置即可。

最後可能是cs106a課程上的一句話，並不是原文：

程式設計師要在不理解內在實現邏輯的情況下，也能順暢地使用別人的成果。

不理解沒關係，會用就行。

華容道3x3的技巧 數字華容道怎樣才能有解