文中內容來自書籍《unity shader入門精要》，作者為馮樂樂。
在三維數學中，矩陣是最為重要的數學概念之一，在整個線性代數的數學世界當中都舉足輕重的角色。
一、定義
由m * n 個數a ij 排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m * n矩陣（matrix）。
這m * n個數稱為矩陣a的元素，簡稱為元，數a ij位於矩陣a的第i行第j列，稱為矩陣a的（i，j）元，以數a ij為（i，j）元的矩陣可記為（a ij）或（a ij）m*n ， m * n矩陣a也記作 a mn 。
元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是複數的矩陣稱為復矩陣。 而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n方陣。
行是豎直的，從左往右排列，在同一豎行中，m值都是相同的，越靠右的行m值越大。列是橫平的，從上往下排列，在同一橫列中，n的值是相同的，越靠下的列n值越大。
二、和向量的關係
矩陣可以看作是乙個陣列，而向量也是乙個陣列，因此，我們可以用矩陣來表示向量。
向量可以看作是n * 1 的列矩陣(column matrix)，或者是1 * n 的行矩陣（row matrix），其中n是向量的維度，例如乙個三維矩中的n的值就是3 。
當我們把向量當成是乙個矩陣之後，就可以把向量用來參與矩陣運算，這在空間變換中非常有用。
三、矩陣的運算
1. 矩陣的加減法
只有同型矩陣之間才可以進行加減法
2.矩陣和標量的乘法
矩陣和標量相乘就是矩陣的每個元素和該標量相乘。
矩陣和標量相乘的結果任然是乙個相同維度的矩陣。
3.矩陣和矩陣的乘法
兩個矩陣的乘法僅僅當第乙個矩陣a的列數和另乙個矩陣b的行數相等時才能定義。
乙個m * n的矩陣a和乙個 n * p 的矩陣b相乘，ab相乘的結果矩陣c將會是乙個m * p 大小的矩陣。
對於c中的乙個元素c ij 的值為：
矩陣的乘法滿足於以下運算律：
結合律：（ab）c = a（bc）
左分配律：（a + b）c = ac + bc
右分配律：c(a + b) = ca + cb
矩陣乘法不滿**換律。
四、特殊的矩陣
1. 方塊矩陣
方塊矩陣（square matrix）簡稱方陣，指的是行數和列數相等的矩陣。三維渲染中最常用的就是3 * 3 和4 * 4矩陣。
對角元素（diagonal elements）指的是行號和列號相等的元素，例如m11、m22等。如果乙個矩陣除了對角元素外所有元素都是0，那麼這個矩陣就叫做對角矩陣（diagonal matrix）。
2. 單位矩陣（identity matrix）
單位矩陣是乙個特殊的對角矩陣，這個對角矩陣的對角元素的值全都是1，這個矩陣用i n 來表示。如：
任何矩陣和單位矩陣相乘的結果都還是原來的矩陣。
3. 轉置矩陣（transposed matrix）
把矩陣a的行和列互相交換所產生的矩陣稱為a的轉置矩陣，這一過程稱為矩陣的轉置。
例如：轉置矩陣有如下性質：
（1）矩陣轉置的轉置等於原矩陣
（2）矩陣相乘的轉置，等於反向相乘各個矩陣的轉置
4. 逆矩陣（inverse matrix）
必須是乙個方陣才能進行逆矩陣操作。
給定乙個方陣m，它的逆矩陣用m-1來表示。
如果把m和m-1相乘，它們的結果是乙個單位矩陣。
如果乙個方陣有對應的逆矩陣，我們就稱這個方陣為可逆的（invertible），如果沒有的話，就是不可逆的。
逆矩陣有如下性質：
（1）逆矩陣的逆矩陣是原矩陣本身。
（m-1）-1= m
（2）單位矩陣的逆矩陣是它本身
i -1 = i
（3）轉置矩陣的逆矩陣是逆矩陣的轉置
（m t）-1= （m-1）t
（4）矩陣相乘後的逆矩陣等於反向相乘各個矩陣的逆矩陣
（a b）-1 = b-1 a-1
逆矩陣在空間變換中有非常重要的地位。乙個矩陣進行變換之後，逆矩陣允許我們還原這個變換，或者說計算這個變換的反向變換。
5. 正交矩陣（orthogonal matrix）
如果乙個方陣m和它的轉置矩陣的乘積是單位矩陣的話，我們就說這個矩陣是正交的。因此有如下公式：
mmt = mtm = i
如果乙個矩陣是正交的，那麼它的轉置矩陣和逆矩陣是一樣的。因此：
mt = m-1
在三維變換中我們經常需要使用逆矩陣來求解反向的變換，但是逆矩陣運算計算量太大，為了提高效能而不可以使用逆矩陣運算。
又因為正交矩陣的轉置矩陣和逆矩陣是一樣的，而轉置矩陣運算很快。
所以我們只要知道乙個矩陣是否為正交矩陣，就可以通過轉置運算得到它的逆矩陣。
五、在unity中，常規的做法是把向量放在矩陣的右側，即把向量轉換成列矩陣來進行運算。
參考圖書《unity shader入門精要》
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