兩個變數的函式
值域為
圖(graph)是所有點
集合，使得
多變數函式的定義與兩個變數的函式類似。
函式相對於它的某個自變數的偏導數，是假定其他自變數不變時，對該自變數的導數。對於兩個變數的函式
，它的偏導數
和 定義為：
和其他表示方法有：
單變數函式中，函式的圖是乙個二維平面上的曲線，導數對應了一條直線(切線)。兩個變數的函式中，偏導數也對應了乙個平面上的一條直線。
中，這個平面是垂直於
軸的平面，直線是該平面上的一條切線。
偏導數圖示
多變數函式的偏導數與兩個變數同理。
偏導數對應了垂直於某軸的平面上的曲線上的切線，有侷限性。方向導數可以找到函式在任意方向上的變化率。
函式 在
上，沿單位向量
方向的向導數是：
有了方向導數後，偏導數是
特殊情況。
方向導數圖示
觀察：向量 有獨特的意義，叫做
梯度，表示為
或 。換句話說，
梯度是乙個向量，向量的第
個元素是
相對於第
個變數的偏導數。
梯度的獨特意義是什麼呢？特殊意義就是沿著梯度方向時
變化最快，換句話說，沿著梯度向量的方向導數最大。因為
是 和
夾角。當
時， 最大，為
。參考資料
《calculus》，james stewart ，7th edition
導數，偏導，方向倒數，梯度
知乎鏈結 導數不僅僅表示該點切線的斜率，還反應了函式在該點的變化率。偏導數僅僅是表示某點在x方向的導數和再y軸方向的導數。這反應了偏導數的侷限性，僅僅是多元函式沿著座標軸的變化率，但是如上圖，在m0點處存在很多方向的偏導數 並不僅僅x和y方向 這就引出了方向導數。我們不僅僅要知道函式在座標軸方向上的...
全微分 偏導數 方向導數 梯度 全導數
就是對某一變數求導，把其他變數作為常數 可以認為偏導數是特殊的方向導數，是在自變數方向上的方向導數。任意方向導數為 方向導數是為了求函式值在某個點沿某個方向的變化率 梯度則是為了求函式值在某個點處變化率最大的方向，梯度由各個軸的偏導函式組成 全導數本質上就是一元函式的導數。他是針對復合函式而言的定義...
方向導數和梯度
之前用過幾次梯度下降演算法來求解一些優化問題，但對梯度的具體意義並不是很理解。前一段時間翻了一遍高教的 簡明微積分 對梯度概念總算有了些理解，在這記錄一下。推薦下 簡明微積分 這本書，我向來對帶有 簡明 二字的書抱有極大的好感。偶然的機會在豆瓣上看到有人推薦這本書，作者是龔公升先生。龔公升先生是中國...