單源最短路徑 Dijkstra演算法

寫在前面：好久沒看圖論了，今天寫作業的時候發現我已經忘記了。俗話說的好，好記性不如爛筆頭，我翻了翻之前的筆記，竟然沒有關於dijkstra的（手動狗頭）。趕緊連夜寫了一篇部落格，只為勾引我對dijkstra的些許記憶。

它是由e.w.dijkstra提出的一種按照路徑長度遞增的次序

分別產生到各頂點最短路徑的貪心演算法。

該演算法把帶權圖的的所有頂點分成兩個集合s和v-s。集合s中存放的是已經找到最短路徑的頂點。v-s中存放未找到最短路徑的頂點。演算法按照路徑長度遞增的次序。逐一將v-s中的元素移動到s中。直至v-s為空。

其中，用到乙個非常重要的原理：如果當前v0到vi的最短路徑已經找到，那該條路徑也一定是v0到路徑中所有點的最短路徑。換句話說，如果要找v0到vi的最短路徑，那麼在vi之前的i-1個頂點肯定已經找到最短路徑了，即i-1個頂點都在集合s中。

如圖中，0-4的最短路徑為0-1-7-8-2-5-4.那麼從v0到v8的最短路徑一定是0-1-7-8.

我們以8號結點為例，進行證明：

假設v0-v8的最短路徑是0-7-6-8，那麼也就說明圖中紅色路徑的長度小於0-1-7-8的長度。

那麼從起點0-4的最短路徑就是下圖中的紅色所示。

這與前提不符合，即假設不合理，所以從v0到v8的最短路徑一定是0-1-7-8.

將所有的頂點分為兩部分：已知最短路徑的頂點集合s和未知最短路徑的頂點集合v-s。可考慮用book陣列實現，book[i]=1,可表示在s中，book[i]=0,則表示在s-v中。

初始化設定源點v0到自己的最短路徑為0.若存在有源點能直接到達的頂點i，就把v0-vi的最短路徑設定為對應的長度。同時把其他頂點的最短路徑設定為∞。同時book陣列清零。

在集合s-v中選擇乙個距離遠點最近的頂點i，加入到集合s中。並考察所有以i為起點的邊，對每一條邊進行鬆弛操作。例如存在一條從頂點u到頂點v的邊，則可通過u拓展一條從s到v的路徑即s -> u -> v，這條路徑的長度為dis[ u ]+e[ u ][ v ]，如果這個值比dis[ v ]的值要小，我們可以用新值替代當前dis[ v ]中的值

如此重複第三步，如果集合v-s為空，則結束。最終dis陣列中的值就是源點到各點的最短路徑

void

dijkstra
(int s)
//s為源點即起點
}		book[u]=1
;//頂點u已經確定最短距離，移入集合s，標記為1
//鬆弛：遍歷頂點u的邊緣頂點，借助剛確定的u頂點作為中轉點重新整理最短距離
for(j =
1;j <= n;j++)if
(e[u]
[j]< inf)
//如果u點到j點有路
//源點s到j點的距離大於借助u點中轉的距離（就是源點到u的距離加u到j的距離）
if(dis[j]
> dis[u]
+ e[u]
[j])	
dis[j]
= dis[u]
+ e[u]
[j];
//更新源點到j頂點的最短距離
}}

Dijkstra 單源最短路徑

演算法思想 輔助陣列dis i 表示當前源頂點到i的最短路徑。dis i 在程式未結束前，類似於動態規劃，可更新以取得最小值 陣列path用來記錄路徑 首先初始化令dis i 為edge v0 i v0為源頂點 然後選擇離源頂點最小的路徑，加入到構造最短路徑的點集合中，然後看是否可以更新dis i ...

Dijkstra 單源最短路徑

演算法思想 輔助陣列dis i 表示當前源頂點到i的最短路徑。dis i 在程式未結束前，類似於動態規劃，可更新以取得最小值 陣列path用來記錄路徑 首先初始化令dis i 為edge v0 i v0為源頂點 然後選擇離源頂點最小的路徑，加入到構造最短路徑的點集合中，然後看是否可以更新dis i ...

Dijkstra單源最短路徑

dijkstra單源最短路徑 給定乙個帶權有向圖g v,e 其中每條邊的權是乙個非負實數。另外，還給定 v 中的乙個頂點，稱為源。現在我們要計算從源到所有其他各頂點的最短路徑長度。這裡的長度是指路上各邊權之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。下面給出兩個計算單源最短路徑的模板。dijkstra 簡...