一、分治模式
許多有用的演算法在結構上是遞迴的：為了解決乙個給定的問題，演算法一次或多次遞迴地呼叫其自身以解決緊密相關的若干子問題。這些演算法典型地遵循分治法的思想：將原問題分解為幾個規模較小但類似於原問題的子問題。遞迴的求解這些問題，然後再合併這些子問題的解來建立原問題的解。
分治模式在每層遞迴都有三個步驟：
分解原問題為若干子問題，這些子問題是原問題的規模較小的例項。
解決這些子問題，遞迴地求解各子問題。然而，子問題的規模足夠小，則直接求解。
合併這些子問題的解成原問題的解。
歸併排序演算法完全遵循分治模式。
分解：分解待排序的n各元素的序列各成n/2個元素的兩個子列。
解決：使用歸併排序遞迴地排序兩個子串行。
合併：合併兩個已排序的子列以產生已排序的答案。
歸併演算法中合併過程的偽**如下：
merge(a,p,q,r)1 n1 = q - p + 12 n2 = r - q3 let l[1..n1 + 1] and r[1..n2 + 1] be new arrays4 for i = 1 to n15 l[i] = a[p + i -1]6 for j = 1 to n27 r[j] = a[q + j]8 l[n1 + 1] = ∞9 r[n2 + 1] = ∞10 i = 111 j = 112 for k = p to r13 if l[i] <= r[j]14 a[k] = l[i]15 i = i + 116 else 17 a[k] = r[j]18 j = j + 1在開始第12~17行for迴圈的每次迭代時，子陣列a[p..k-1]按從小到大的順序包含l[1..n1+1]和r[1..n2+1]中的k-p個最小元素。進而l[i]和r[j]是各自所在陣列中未被複製回陣列a的最小元素。
歸併排序證明迴圈不變式成立
初始化：迴圈第一次迭代之前，有k=p，所以子陣列a[p..k-1]為空。這個空的子陣列包含l和r的k-p = 0個最小元素。又因為i=j=1,所以l[i]和r[j]都是各自所在陣列中未被複製回陣列a的最小元素。
保持：為了理解每次迭代都維持迴圈不變式，首先假設l[i]<=r[j]。這時，l[i]是未被複製回陣列a的最小元素，子陣列a[p..k]將包含k-p+1個最小元素。增加k的值和i的值後，為下次迭代重新建立了該迴圈不變式。反之，若l[i]>=r[j]，則第17~18行執行適當的操作來維持該迴圈不變式。
終止：終止時k = r +1。根據迴圈不變式，子陣列a[p..k-1]就是a[p..r]且按從小到大的順序包含l[1...n1+1]和r[1..n2+1]中的k-p = r - p +1個最小元素。陣列l和r一起包含n1+n2+2 = r-p+3個元素。除兩個最大的元素以外，其他所有元素都已被複製回陣列a，這兩個最大的元素就是哨兵。
歸併排序偽**
1 merge-srot(a,p,r)2 if p < r3 q = (p + r)/24 merge-sort(a,p,q)5 merge-sort(a,q + 1,r)6 merge(a,p,q,r)歸併排序的時間複雜度為o(nlgn)。
因為遞迴樹是lgn + 1層，所以總的代價為cnlgn + cn。
二、歸併排序的具體實現過程
#include #include void merge(int intarray, int begin, int mid, int end) for (i = 0; i < n1; i++) l[i] = intarray[begin + i]; for (j = 0; j < n2; j++) r[j] = intarray[mid + 1 + j]; i = j = 0; k = begin; while (i < n1 && j < n2) else } while (i < n1) while (j < n2) /* 程式執行完畢後，在done處，進行資源釋放 */ goto done;error: printf("malloc has benn failed!");done: if (l != null && r != null) }void merge_sort(int intarray, int head, int tail)}int main(void); int i = 0; merge_sort(a, 0, 7); for (i = 0; i < 8; i++) { printf("%d二分歸併排序 分治演算法與歸併排序
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